单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,层次分析法简介,层次分析法简介,1,层次分析法,美国运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在70年代初提出的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP）是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。,AHP基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。,层次分析法美国运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在70年代初,2,层次分析法基本步骤,明确问题建立层次,构造判断矩阵,层次单排序,层次总排序,一致性检验,层次分析法基本步骤明确问题建立层次,3,明确问题建立层次,对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类,每类作为一个层次,按最高层(即目标层,表示解决问题的目的)、若干有关的中间层(表示采用某种措施或根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节)和最低层(表示解决问题的措施和方案)的形成排列起来形成一个层次结构图。,明确问题建立层次对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用,4,构造判断矩阵,层次结构建立后,明确了上下层次之间的从属关系。,假定A层中元素A,k,与下层中元素B,1,B,2,B,m,有联系，构造如下的判断矩阵：,A,k,B,1,B,2,B,m,B,1,b,11,b,12,b,1m,B,2,b,12,b,22,b,2m,B,m,b,m1,b,m2,b,mn,其中,b,ij,表示对于,A,k,而言，,B,i,对,B,j,相对重要性的标度,(M,Bi,/M,Bj,),。显然判断矩阵,B=(b,ij,),有关系式,b,ij,0,，,b,ii,=1,，,b,ji,=1/b,ij,，,i,j=1,2,m,因此对,m,阶判断矩阵,仅需对,m(m-1)/2,个元素给出标度。,构造判断矩阵层次结构建立后,明确了上下层次之间的从属关系。A,5,标度值意义及一致性,判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵的质量有一致性的要求，即,B,中元素满足要求：,b,ij,b,jk,=b,ik,i,，,j,，,k=1,，,2,，,，,m,满足一致性的充分必要条件是：它的最大特征值,*,=m,。,标度值意义及一致性判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分,6,层次单排序,利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言，本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权向量）的过程，称为层次单排序。,层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题，即对于判断矩阵B，求解满足BU=U的最大特征值*以及对应*的正规化(单位化)的特征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。,层次单排序利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言，本层次与之,7,一致性指标,在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且,max,m，当B具有满意的一致性时，,max,稍大于m，其余的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合理。,我们可用CI=(*-m)/(m-1)作为检验B的一致性指标。,显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0；,*,-m越大，CI越大，一致性越差。,此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。通过多次随机的构造m阶判断矩阵,计算其最大特征根,然后取平均值得,于是得到RI=(-m)/(m-1)。,注：112阶判断矩阵的RI值已编制成数表备查。,一致性指标在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且max,8,随机一致比例CR,一、二阶判断矩阵必有一致性，其RI值只是形式上的。,当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称为判断矩阵的随机一致比例，记为CR。,当CR=0.10时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整判断矩阵。,对于,112,阶的判断矩阵，,RI,值表如下,:,阶数,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54,随机一致比例CR一、二阶判断矩阵必有一致性，其RI值只是形式,9,层次总排序,为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组合权重，这个过程称为层次总排序。,层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进行，最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方案优先次序的相对权重。,若有m层目标(不含总目标),把各方案作为m+1层,每相邻两层之间具有完全层次关系,且设第i层目标有n,i,个,第i+1层目标(或方案)有n,i+1,个,用W,(i),表示这两层间的权重矩阵,它有n,i,行n,i+1,列。可以知道各方案对总目标的权重向量W为：W=W,(0),W,(1),W,(m),。,层次总排序为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合权重和它,10,层间的权重组合与权重矩阵W,(j),若上一层所有元素A,1,，A,2,，A,k,的层次单排序已完成，得到的权重为a,1,a,2,a,k,与A,i,(1ik)对应的本层次元素为B,1,B,2,B,m,单排序结果为B,i,=(b,i,1,b,i,2,b,i,m,)(注：若b,i,j,=0,则表示B,i,与A,j,无关),层间的权重组合与权重矩阵W(j)若上一层所有元素A1，A2，,11,一致性检验,为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需计算与层次单排序类似的检验量，记,CI层次总排序的一致性指标,RI层次总排序随机一致性指标,CR层次总排序随机一致性比例,其中,CI,i,为,A,i,对应的下一层,B,层次中判断矩阵的一致性指标。,RI,i,为,A,i,对应的,B,层次中判断矩阵的随机一致性批标。,当,CR0.10,时,则 认为层次总排序计算结果的一致性可以接受。,一致性检验为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需计算与层,12,最大特征值的近似简化算法-和积法,（1）将判断矩阵B每一列正规化；,（2）每列正规化的判断矩阵按行相加；,（3）对相加后得到的向量再正规化，即得排序所要求的特征向量W；,（4）计算判断矩阵B的量大特征值*,中,(BW),i,表示向量,BW,的第,i,个元素。,最大特征值的近似简化算法-和积法（1）将判断矩阵B每一列正,13,最大特征值的近似简化算法-根法,（1）将B的元素按行相乘,（2）所得乘积分别开m次方,（3）将方根向量正规化即得排序所要求的特征向量W,（4）计算,最大特征值的近似简化算法-根法（1）将B的元素按行相乘,14,应用示例,某企业进行决策时，确定其企业目标分经济目标和非经济目标两类。并具体将其目标分为目标C1,目标C2,目标C3和目标C4(如年利润增长10%，每年全国各地新开分支机构5家，职工年收人年增20%,提高企业形象等)，并制定了三项具体政策方案，如下图所示。今欲从中选择一种政策加以实施。经专家讨论给出各层判断矩阵。,应用示例 某企业进行决策时，确定其企业目标分经济目标和非经济,15,A层计算（和积法）,将第1列加总、规范化:,a,k1,=1+1/2=3/2,11,=a,11,/a,k1,=0.6667,21,=a,21,/a,k1,=0.3333,将第2列加总、规范化:,a,k2,=2+1=3,12,=a,12,/a,k2,=0.6667,22,=a,22,/a,k1,=0.3333,构成列向量规范的判断矩阵：,将,矩阵每行相加得一列向量,再归一化：,二阶矩阵不需作一致性检验。,A层计算（和积法）将第1列加总、规范化:将矩阵每行相加,16,B层计算,对B,1,判别矩阵：,对,B,2,判别矩阵：,B,1,和,B,2,矩阵都通过一致性检验。,B层计算对B1判别矩阵：对B2判别矩阵：B1和B2矩阵都通过,17,C层计算,对C,1,判别矩阵：,对,C,2,判别矩阵：,对,C,3,判别矩阵：,对,C,4,判别矩阵：,C层计算对C1判别矩阵：对C2判别矩阵：对C3判别矩阵：对C,18,权重合成-层次总排序,各政策关于企业目标的权重:,由于政策乙的权重最大，因此，应该选择政策乙。,C,层各目标重要性的权重,:,即目标,2,的重要程度最高，目标,4,的重要程度最低，目标,2,是应优先满足的目标。,权重合成-层次总排序各政策关于企业目标的权重:由于政,19,R计算程序,RIt=c(0,0,0.58,0.90,1.12,1.14,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54);RIt,A=matrix(c(1,2,1/2,1),ncol=2,byrow=T);A,ev=eigen(A);ev,WA=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WA,W0=WA,B1=matrix(c(1,1/4,2,4,1,3,1/2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);B1,B2=matrix(c(1,2,2,3,1/2,1,5,2,1/2,1/5,1,2,1/3,1/2,1/2,1),ncol=4,byrow=T);B2,ev=eigen(B1);ev,WB1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WB1,CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1,RI1=RIt3;RI1,CR1=CI1/RI1;CR1,R计算程序RIt=c(0,0,0.58,0.90,1.12,20,R计算程序续1,ev=eigen(B2);ev,WB2=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WB2,CI2=(ev$values1-4)/(4-1);CI2,RI2=RIt4;RI2,CR2=CI2/RI2;CR2,CI=c(CI1,CI2);RI=c(RI1,RI2),CR=(CI%*%W0)/(RI%*%W0);CR,W1=rbind(c(WB1,0),WB2);W1,C1=matrix(c(1,2,3,1/2,1,2,1/3,1/2,1),ncol=3,byrow=T);C1,C2=matrix(c(1,1/4,1/2,4,1,2,2,1/2,1),ncol=3,byrow=T);C2,C3=matrix(c(1,1,1/4,1,1,1/3,4,3,1),ncol=3,byrow=T);C3,C4=matrix(c(1,1/5,1/2,5,1,3,2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);C4,R计算程序续1ev=eigen(B2);ev,21,R计算程序续2,ev=eigen(C1);ev,WC1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC1,CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1,RI1=RIt3;RI1,CR1=CI1/RI1;CR1,ev=eigen(C2);ev,WC2=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC2,CI,2,=(ev$values1-3)/(3-1);CI,2,RI2=RIt3;RI2,CR2=CI2/RI2;CR2,ev=eigen(C3);ev,WC3=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC3,CI,3,=(ev$values1-3)/(3-1);CI,3,RI3=RIt3;RI3,CR3=CI3/RI3;CR3,R计算程序续2ev=eigen(C1);ev,22,R计算程序续3,ev=eigen(C4);ev,WC4=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC4,CI,4,=(ev$values1-3)/(3-1);CI,4,RI4=