,4.1,节点导纳矩阵,1.,电力网络运行状态的描述：节点方程或回路方程,2.,节点方程的待求变量：母线电压,第,4,章 电力网络的数学模型,主要内容：,节点导纳矩阵的形成及修改；,如何解网络方程；,节点阻抗矩阵的形成及修改。,一、节点方程,图示的简单电力系统，若略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗便可得到一个有,5,个节点,和,7,条支路,等值网络。,4.1 节点导纳矩阵1.电力网络运行状态的描述：节点方程或回,将电势源和阻抗的串联变换成电流源和导纳的并联，得到的等值网络如图所示，其中：,以零电位为参考点，根据基尔霍夫电流定律，得到,4,个独立节点的电流平衡方程：,将电势源和阻抗的串联变换成电流源和导纳的并联，得到的等值网络,整理上述方程可得：,其中：,一般地，对,n,个独立节点的网络，可列写,n,个节点方程：,矩阵形式,缩记,整理上述方程可得：其中：一般地，对n个独立节点的网络，可列写,二、节点导纳矩阵元素的物理意义,令：,节点导纳矩阵 中各元素的定义：,节点,自导纳，等于与,相连所有支路导纳之和；,节点,间的自导纳，等于节点,间支路导纳的,负值。若节点 间不存在直接支路，。,代入,二、节点导纳矩阵元素的物理意义令：节点导纳矩阵 中各元素的,节点 与零电位点之间的支路导纳；,节点 与节点 之间的支路导纳。,讨论：,当 时，当网络中除节点 以外所有节点都接地时，从节点 注入网络的电流同施加于节点 的电压之比，即等于节点 的,自导纳,。,其中：,当 时，当网络中除节点 以外所有节点都接地时，从节点 流入网络的电流同施加于节点 的电压之比，即等于节点 与 之间的,互导纳,。,节点 电流,实际方向自网络流入地中。,节点 与零电位点之间的支路导纳；讨论：其中：当,1,2,y,12,3,y,1,0,y,13,y,23,y,20,y,30,节点导纳矩阵中自导纳的确定,12y123y10y13y23y20y30节点导纳矩阵中,节点导纳矩阵中互导纳的确定,1,2,y,12,3,y,1,0,y,13,y,23,y,20,y,30,节点导纳矩阵中互导纳的确定12y123y10y13y23y,节点导纳矩阵,Y,的特点,直观易得,2.,稀疏矩阵,它的对角元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。,阶数：等于除参考节点外的节点数,n,对角元：等于该节点所连导纳的总和,非对角元,Yij,：等于连接节点,i,、,j,支路 导纳的负值,节点导纳矩阵Y 的特点直观易得阶数：等于除参考节点外的节点数,三、节点导纳矩阵的修改,假定接线改变前导纳矩阵元素为 ，接线改变后应修改为,。,修改增量 的计算方法：,(1),从网络的原有节点 引出一条导纳为 的支路，同时增加节点 ；,修改：导纳矩阵增加一行一列，且,三、节点导纳矩阵的修改修改增量 的计算方法：,(2),在网络原有节点 之间增加一条导纳为 的支路；,修改：,其余元素不必修改。,(3),在网络的原有节点 之间切除一条导纳为 的支路；,修改：相当于节点 之间增加一条导纳为 的支路。,四、支路间存在互感时的节点导纳矩阵,常用方法：采用消去互感的等值电路代替原来的互感线路阻。,(2)在网络原有节点 之间增加一条导纳为 的支路；,其中：,其中：,Y,矩阵的修改,在原有网络的节点,i,、,j,之间变压器的变比由,k,*,改变为,k,*,Z,Z,i,j,k,*,:1,Z,T,Z,Z,i,j,y,T,/,k,*,Y 矩阵的修改在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改,Y,矩阵的修改,在原有网络的节点,i,、,j,之间变压器的变比由,k,*,改变为,k,*,Y 矩阵的修改在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改,星网变换（补充）,根据基尔霍夫电流定律,星网变换（补充）根据基尔霍夫电流定律,因为：,所以：,根据等值条件，自网络外部流向节点,i,的电流保持不变,因为：所以：根据等值条件，自网络外部流向节点i的电流保持不变,则：,n,2,3,i,j,1,4,y,31,y,41,y,21,y,n1,y,i1,y,j1,n,2,3,i,j,4,y,2i,y,ij,则：n23ij14y31y41y21yn1yi1yj1n23,在星型电路中心节点存在注入电流，在作星网变换前，要进行中心节点电流的移植，移植前后外电路注入电流不变，节点电压不变,因为：,所以：,在星型电路中心节点存在注入电流，在作星网变换前，要进,电流移植前后，节点,i，j,电压差不变,根据等比公式：,电流移植前后，节点i，j电压差不变根据等比公式：,4.2,网络方程的解法,一、用高斯消去法求解网络方程,高斯消去法的,物理意义,：带有节点电流移置的星网变换。,求解算法：按列消元。,1.,第,1,次消元后可得：,4.2 网络方程的解法一、用高斯消去法求解网络方程,修正,反映了电流移植,的星网变换结果,修正反映了电流移植,1.节点,i,电流增量等于从节点1移植过来的电流,2.非对角线元素修正增量,3.对角线元素修正增量,为星网变换后节点,i,和,j,新增支路导纳的负值,为星网变换后新接入节点,i,的支路导,纳（正值,）,和被拆去的支路导纳（负值）的代数和,1.节点i电流增量等于从节点1移植过来的电流 2.非对角,第,2,次消元，其系数矩阵演变为：,(n-1),次消元后,其中：,结论,：,1),时，为通过第,k,次消元后，在节点 间新接入的支路导纳；,2),时，为通过第,k,次消元后，从节点 被拆去的支路导纳（取,-,）与节点 新接入的支路导纳取（,+,）的代数和。,第2次消元，其系数矩阵演变为：(n-1)次消元后其中：结论：,例题4-3 用星网变换求解所示网络,解,(1),将节点电流分解,例题4-3 用星网变换求解所示网络解(1)将节点电流分解,星网变换，消去节点1,星网变换，消去节点1,(2)节点2电流移植，消去节点2,(2)节点2电流移植，消去节点2,合并导纳,(3)把节点3电流移植到节点4,合并导纳(3)把节点3电流移植到节点4,二、用高斯消去法简化网络,高斯消去法简化网络的方法：,1.,逐个地消去节点；,2.,一次性消去若干个节点。,设有,n,个节点的网络，拟消去 号节点，保留 。,二、用高斯消去法简化网络,代入,代入,4.3,节点阻抗矩阵,一、节点阻抗局阵元素的物理意义,阻抗形式的节点方程：,节点阻抗矩阵,其中：,其中：,1.,对角元素 为节点 的自阻抗（输入阻抗）；,2.,非对角元素 为节点 间的互阻抗（,转移阻抗,）。,4.3 节点阻抗矩阵一、节点阻抗局阵元素的物理意义节点阻抗矩,结论,：,1),节点 的自阻抗 ：在节点 单独注入电流，所有其他节点的注入电流为零，节点 产生的电压同注入电流之比；,2),节点 间的互阻抗 ：在节点 单独注入电流，所有其他节点的注入电流为零，节点 产生的电压同注入电流之比。,自阻抗和互阻抗的物理意义：,令：，则,节点阻抗矩阵的求取方法：,以物理概念为基础的支路追加法；,从节点导纳矩阵求取逆阵。,结论：自阻抗和互阻抗的物理意义：节点阻抗矩阵的求取方法：,二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵,支路追加法,根据系统的接线图，从某一个,与地相连,的支路开始，逐步增加支路，扩大阻抗矩阵的阶次，最后形成整个系统的节点阻抗矩阵。,二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵,注,：第,1,条支路必须是,接地支路,，以后每次追加的支路必须,至少有,1,个端点同已出现的节点相接,。,追加支路的,2,种情况：,1.,追加树支：新增支路引出一个新节点，阻抗矩阵扩大一阶，由原来的,p,阶变为,p+1=q,阶；,2.,追加连支：在已有的两个节点间增加新支路，网络节点数不变，阻抗矩阵阶次不变。,阻抗矩阵的修改,1.,追加树支,注：第1条支路必须是接地支路，以后每次追加的支路必须至少有1,阻抗矩阵中各元素的计算：,在原网络的任一节点 单独注入电流 ，而其余节点的电流均为,0,。,1),由于支路 无电流通过，故该支路的接入不会改变原网络的电压和电流分布。即阻抗矩阵中对应原网络的元素将保持原有数值不变；,2),由于支路 无电流通过，故,3),从原网络来看，从节点 单独注入电流与从节点 注入电流效果相同，故,阻抗矩阵中各元素的计算：,结论,：当增加,1,条树支时，阻抗矩阵的,原有部分保持不变,，,新增的一行,(,列,),各非对角线元素,分别,与引出该树支的原有节点的对应行,(,列,),各元素相同,。而,新增加的对角线元素为该树支的阻抗与引出该树支的原有节点的自阻抗之和,。,4),若节点 为参考节点,(,接地点,),，则新增支路为接地树支。由于恒有 ，故,结论：当增加1条树支时，阻抗矩阵的原有部分保持不变，新增的一,2.,追加连支,若原有各节点的注入电流保持不变，连,支,的接入将改变网络中的电压分布。,代入,代入,2.追加连支代入代入,若节点 为接地点，新增支路为接地连支,(),，则,若 ，则节点 合并为一个节点，故,说明,：如将 短接后，修改后的第 行,(,列,),和第 行,(,列,),的对应元素完全相同。,若节点 为接地点，新增支路为接地连支()，则,2.,追加变压器支路,可分为追加树支和追加连支。变压器用一个等值阻抗同一个理想变压器相串联的支路来表示。,1),追加变压器树支,由于新接支路中无电流通过，故该支路的接入不会改变原网络的电压和电流分布。即阻抗矩阵中对应原网络的元素将保持原有数值不变；,在原网络的任一节点 单独注入电流 ，而其余节点的电流均为,0,。则有,2.追加变压器支路1)追加变压器树支在原网络的任一节点 单,从原网络来看，从节点 单独注入电流 与从节点 注入电流 效果相同，故,2),追加变压器连支,若原各节点的注入电流保持不变，接入新连支将改变网络中的电压分布。矩阵元素计算分,2,步进行：,a.,从节点,追加变压器树支，引出新节点 ，将阻抗矩阵扩大,1,阶；,b.,在节点 间追加阻抗为,0,的连支。则有,从原网络来看，从节点 单独注入电流 与从节点 注入电,三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆,常采用对,导纳矩阵求逆,的方法来得到阻抗矩阵。,三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆,的物理意义,：,若把 当作注入电流的列向量，就是节点电压的列向量，当只有节点 注入单位电流，其余节点的电流为,0,，网络各节点的电压在数值上等于阻抗矩阵的第 列的对应元素。,对节点导纳矩阵 分解,节点导纳矩阵第 列元素的计算公式：,的物理意义：对节点导纳矩阵 分解节点,