,1,第四章 线性方程组,*,4.1,线性方程组的基本概念,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,4.1 线性方程组的基本概念,4.2 高斯(Gauss)消元法,4.3 齐次线性方程组解的结构,4.4 非齐次线性方程组解的结构,第四章 线性方程组4.1 线性方程组的基本概念4.2,4.1 线性方程组的基本概念,一、线性方程组的几种表示形式,二、线性方程组解的存在性与惟一性,三、等价的线性方程组,4.1 线性方程组的基本概念一、线性方程组的几种表示形式二,下面将讨论一般线性方程组。,在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的,而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数,不一定相等。,一、线性方程组的几种表示形式,方程组，,需要探讨的问题,(1)方程组是否有解?,(2)如果有解，是否惟一?,(3)如何求解?,下面将讨论一般线性方程组。在第一章中，讨论了方程的个,其中,为,未知量,，,是第,i,个方程第,j,个未知量,x,j,的,系数,，,1.线性方程组的一般形式,为,常数项,。,若常数项不全为 0，称为,非齐次线性方程组,；,定义,否则称为,齐次线性方程组,(或者,导出组,)。,一、线性方程组的几种表示形式,P109,P123,其中为未知量，是第 i 个方程第 j 个未知量 xj 的系数,1.线性方程组的一般形式,一、线性方程组的几种表示形式,称为,增广矩阵,。,2.线性方程组的矩阵形式,简记为,A,称为,系数矩阵,，,其中,P111,1.线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式称为增,1.线性方程组的一般形式,一、线性方程组的几种表示形式,2.线性方程组的矩阵形式,3.线性方程组的向量形式,令,对于线性方程组,则得到向量形式为,即,将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合,P111,1.线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式2.,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,线性方程组,A,X,=,b,有解,的充要条件是,定理,证明,必要性,若,A X,=,b,有解，,则,b,可由 线性表示，,故向量组 与 等价，,即得,P112 定理4.2(1),1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性线,充分性,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,线性方程组,A,X,=,b,有解,的充要条件是,定理,证明,故,b,可由 的线性表示，,则 的极大线性无关组也是,若,即得,A X,=,b,有解。,的极大线性无关组，,充分性1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,即,A X,=,b,的解是惟一的。,设 则,A,X,=,b,有惟一解,。,定理,证明,由 知,A X,=,b,有解，,即存在 ，使得,(1)若,则 线性无关，,故,b,只能由 的惟一地线性表示，,P112 定理4.2(2),1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,证明,故,A X,=,b,的解不惟一。,设 则,A,X,=,b,有惟一解,。,定理,(2)若,线性相关，,即存在不全为零的 ，使得,可见 也是,A X,=,b,的解,，,则,1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2,1.线性方程组解的存在性,二、线性方程组解的存在性与惟一性,2.线性方程组解的惟一性,对于线性方程组,A,X,=,b,，,有,(,线性方程组解的判定,),综合,(2)当 时，方程组有,唯一解,;,(1)当 时，方程组有,无穷多解,;,(3)当 时，方程组有,无解,。,其中,1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2,有非零解,有非零解,二、线性方程组解的存在性与惟一性,3.关于齐次线性方程组的一些结论,(3)若,m,=,n,，即,A,为方阵，则,(1)一定有,(,零,),解。,则必有非零解。,(2)只有零解,只有零解,因为,特别，若,m,n,，即方程的个数小于未知量的个数，,补,对于齐次线性方程组 有如下结论：,有非零解有非零解二、线性方程组解的存在性与惟一性3.关于齐,三、等价的线性方程组,若存在可逆矩阵,P,，使,P,A,=,B,，则线性方程组,若两个线性方程组同解，则称它们,等价,。,定义,定理,证明,A,X,=,b,与,B,X,=,P,b,等价,(同解)。,由,由,故线性方程组,A,X,=,b,与,B,X,=,P,b,等价,。,P111 定义4.1,P111,定理,4.1,三、等价的线性方程组若存在可逆矩阵 P，使 P A=B,三、等价的线性方程组,定理的重要意义,则线性方程组,A,X,=,b,与,B,X,=,P,b,同解(即解不变)。,称此为线性方程组,同解变形,。,思考,可否进行,列初等变换,？,它是后面,(,高斯,),消元法的基础。,若,行初等变换,三、等价的线性方程组 定理的重要意义则线性方程组 A X=,轻松一下吧,轻松一下吧,