第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,三年,10,考 高考指数,:,1.,能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；,2.,能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；,3.,初步了解用代数方法处理几何问题的思想,.,三年10考 高考指数:,1.,直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；,2.,常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结合,重点考查用待定系数法求直线与圆的方程；,3.,题型以选择题和填空题为主，属中低档题目,.,有时与其他知识点交汇在解答题中出现,.,1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；,1.,直线与圆的位置关系,(1),从方程的观点,把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式,判断位置关系,.,相离,相切,相交,位置关系,0,=0,0,1.直线与圆的位置关系 相离 相切 相交位置关系,(2),从几何的观点,利用圆心到直线的距离,d,与半径,r,比较大小来判断直线与圆的位置关系,.,d,与,r,的关系,dr,位置,关系,相交,相切,相离,(2)从几何的观点 d 与r d0),内异于圆心的一点，则直线,x,0,x+y,0,y=r,2,与此圆的位置关系是,_.,【即时应用】,【,解析,】,(1),当,k=1,时，圆心到直线的距离,此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 解得,；所以，,“,k=1,”,是,“,直线,x-y+k=0,与圆,x,2,+y,2,=1,相,交,”,的充分不必要条件,.,(2),因为点,M(x,0,y,0,),是圆,x,2,+y,2,=r,2,(r0),内的一点，所以,x,2,0,+y,2,0,r,2,，圆心到直线,x,0,x+y,0,y=r,2,的距离,所以直线与圆相离,.,答案：,(1),充分不必要,(2),相离,【解析】(1)当k=1时，圆心到直线的距离,2.,圆与圆的位置关系,设圆,O,1,:(x-a,1,),2,+(y-b,1,),2,=r,2,1,(r,1,0),圆,O,2,:(x-a,2,),2,+(y-b,2,),2,=r,2,2,(r,2,0).,2.圆与圆的位置关系,【,即时应用,】,(1),思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？,提示：,两圆的方程作差，消去二次项得到关于,x,、,y,的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程,.,【即时应用】,(2),判断下列两圆的位置关系,.,x,2,+y,2,-2x=0,与,x,2,+y,2,+4y=0,的位置关系是,_.,x,2,+y,2,+2x+4y+1=0,与,x,2,+y,2,-4x-4y-1=0,的位置关系是,_.,x,2,+y,2,-4x+2y-4=0,与,x,2,+y,2,-4x-2y+4=0,的位置关系是,_.,(2)判断下列两圆的位置关系.,【,解析,】,因为两圆的方程可化为：,(x-1),2,+y,2,=1,，,x,2,+(y+2),2,=4,，所以，两圆圆心距 而两,圆的半径之和,r,1,+r,2,=1+2=3,；两圆的半径之差,r,2,-r,1,=2-1=1,；,所以,r,2,-r,1,|O,1,O,2,|1,即,k,时，直线,l,与圆,C,相离；,当,=1,即,k=,时，直线,l,与圆,C,相切；,当,1,即,k,时，直线,l,与圆,C,相交,.,【变式备选】已知动直线l：y=kx+5和圆C：(x-1)2+,与圆有关的弦长、中点问题,【,方法点睛,】,直线被圆截得弦长的求法,(1),代数方法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于,x,的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长,(2),几何法：设圆的半径为,r,，弦心距为,d,，弦长为,l,，则有：,与圆有关的弦长、中点问题,【,例,2】,已知点,P(0,5),及圆,C,：,x,2,+y,2,+4x-12y+24=0.,(1),若直线,l,过点,P,且被圆,C,截得的弦长为 ，求直线,l,的方程；,(2),求过点,P,的圆,C,的弦的中点的轨迹方程,.,【,解题指南,】,(1),本题求直线方程，因为直线过点,P(0,5),，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；,(2),设中点的坐标，可利用条件，寻求等式，化简即得轨迹方程,.,【例2】已知点P(0,5)及圆C：x2+y2+4x-12y+,【,规范解答,】,圆,C,的标准方程为,:(x+2),2,+(y-6),2,=16,所以圆心坐标为,C(-2,，,6),，半径,r=4.,(1),当斜率不存在时，直线方程为,x=0,，圆心到此直线的距离为,2,，此时弦长为 符合题意；,当直线,l,的斜率存在时，设直线方程为,y=kx+5,，,即,kx-y+5=0,，又因为圆的半径,r=4,，弦长为 圆心到直线,l,的,距离为,解得，因此直线方程为 即,3x-4y+20=0,综上可知：所求直线方程为,x=0,或,3x-4y+20=0.,【规范解答】圆C的标准方程为:(x+2)2+(y-6)2=1,(2),设弦的中点为,M(x,y),，由圆的性质得：,(x+2,y-6),(x-0,y-5)=0,化简得：,x,2,+y,2,+2x-11y+30=0.,因此，所求轨迹方程为：,x,2,+y,2,+2x-11y+30=0.,(2)设弦的中点为M(x,y)，由圆的性质得：,【,反思,感悟,】,1.,本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线方程，因此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存在与不存在两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况；,2.,解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等量关系，本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解,.,【反思感悟】1.本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线方程,【,变式训练,】,已知圆,C,过点,(1,，,0),，且圆心在,x,轴的正半轴上，,直线,l,:y=x-1,被圆,C,所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线,l,垂,直的方程为,_.,【,解析,】,设所求直线的方程为,x+y+m=0,圆心,(a,0),，由题意,知：解得,a=3,或,a=-1,又因为圆心在,x,轴的正半,轴上，,a=3,故圆心坐标为,(3,，,0),，而直线,x+y+m=0,过圆心,(3,，,0),，,3+0+m=0,，即,m=-3,故所求直线的方程为,x+y-3=0.,答案：,x+y-3=0,【变式训练】已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，,【,变式备选,】,直线 截圆,x,2,+y,2,=4,得到的劣弧的弧长,为,(),(A)(B)(C)(D),【,解析,】,选,C.,因为圆,x,2,+y,2,=4,的圆心坐标为,(0,，,0),，圆心到直线,的距离 而圆的半径为,2,，所以该直线,截圆所得弦长为 所以劣弧所对的圆心角为 所以劣,弧所对的弧长为,【变式备选】直线 截圆x2+y2=4得,圆与圆的位置关系,【,方法点睛,】,1.,两圆公切线的条数,2.,判断两圆位置关系的方法,判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解,.,位置关系,内含,内切,相交,外切,外离,公切线条数,0,1,2,3,4,圆与圆的位置关系位置关系内含内切相交外切外离公切线条数,【,提醒,】,利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含,.,【提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切,【,例,3】,已知圆,C,1,：,x,2,+y,2,-2mx+4y+m,2,-5=0,，圆,C,2,：,x,2,+y,2,+2x-2my+m,2,-3=0,，,m,取何值时,(1),圆,C,1,与圆,C,2,外切；,(2),圆,C,1,与圆,C,2,内含,.,【,解题指南,】,可先求出两圆的圆心及半径，利用两圆外切、内含与两圆半径和、半径差之间的关系即可求出,m,的值或取值范围,.,【例3】已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，,【,规范解答,】,对于圆,C,1,与圆,C,2,的方程，经配方后得,C,1,:(x-m),2,+(y+2),2,=9,C,2,:(x+1),2,+(y-m),2,=4.,(1),当两圆外切时，则有,解得：,m=-5,或,m=2,；,(2),当两圆内含时，则有,解得：,-2m-1.,【规范解答】对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得,【,反思,感悟,】,1.,解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解；,2.,注意应用圆心距与两圆半径和、半径差的关系时，半径差应为较大半径减去较小半径,.,【反思感悟】1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足,【,变式训练,】,设圆,C,2,经过点,A(4,-1),且与圆,C,1,：,x,2,+y,2,+2x-6y,+5=0,切于点,B(1,2),，求圆,C,2,的方程,.,【,解析,】,由平面几何知识可知：,C,1,、,B,、,C,2,三点共线，又,BC,1,的,方程为：,x+2y-5=0,，,AB,的垂直平分线方程为：,x-y-2=0,，由,得,即,C,2,(3,1),；又,|C,2,A|=,所以,r=,，,圆,C,2,的方程为：,(x-3),2,+(y-1),2,=5.,【变式训练】设圆C2经过点A(4,-1)且与圆C1：x2+y,【,创新探究,】,直线与圆的位置关系的创新命题,【,典例,】(2011,江苏高考,),集合,A=(x,y)|(x-2),2,+y,2,m,2,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,若,AB,则实数,m,的取值范围是,_.,【,解题指南,】,本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数,m,的取值范围,【创新探究】直线与圆的位置关系的创新命题,【,规范解答,】,AB,A,m,2,m,或,m0.,显然,B,.,要使,AB,只需圆,(x-2),2,+y,2,=m,2,(m0),与,x+y=2m,或,x+y=2m+1,有交点，即 或,又,m,或,m0,当,m=0,时，,(2,，,0),不在,0 x+y1,内,.,综上所述，满足条件的,m,的取值范围为 ,.,答案：,【规范解答】AB,A,m2,【,阅卷人点拨,】,通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：,创,新,点,拨,本题的创新点有以下两点,:,(1),考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，两几何图形虽常见但不落俗套；,(2),考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用,.,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备,备,考,建,议,解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：,(1),根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系；,(2),凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论,.,备解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：,1.(2011,广东高考,),已知集合,A=(x,y)|x,y,为实数，且,x,2,+y,2,=1,，,B=(x,y)|x,y,为实数，且,y=x,，则,AB,的元素个数为,(),(A)0 (B)1 (C)2 (D)3,【,解析,】,选,C.AB,的元素个数等于圆,x,2,+y,2,=1,与直线,y=x,的交点个数，显然有,2,个交点,.,1.(2011广东高考)已知集合A=(x,y)|x,y为,2.(2011,江西高考,),若曲线,C,1,:x,2,+y,2,-2x=0,与曲线,C,2,:y(y-mx-m),=0,有四个不同的交点，则实数,m,的取值范围是,(),(A)(,，,)(B)(,，,0)(0,),(C),(D)(-,)(,+),2.(2011江西高考)若曲线C1:x2+y2-2x=0与,【,解析,】,选,B.,如图