单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,最新.,*,矩阵,1.,矩阵的定义,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、,对角阵、数量阵、单位阵,最新.,1,矩阵1.矩阵的定义一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵,2.,矩阵的基本运算,矩阵相等,:,同型矩阵：,两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法、数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘：,乘法满足,矩阵乘法不满足：交换律、消去律,最新.,2,2.矩阵的基本运算矩阵相等:同型矩阵：两个矩阵的行数,A,是,n,阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,并且,（,m,k,为正整数）,方阵的行列式：,三种基本计算方法,满足,:,最新.,3,A是n 阶方阵，方阵的幂：方阵的多项式,解,最新.,4,解最新.4,转置矩阵,:,一些特殊的矩阵,:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的,新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,.,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,最新.,5,转置矩阵:一些特殊的矩阵:把矩阵 的行换成同,伴随矩阵：,若,若,若,最新.,6,伴随矩阵：若若若最新.6,3.,逆矩阵,定义：,A,为,n,阶方阵，若存在,n,阶方阵,使得,则称矩阵,A,是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）,矩阵,B,称为矩阵,A,的逆矩阵。,唯一性：,若,A,是可逆矩阵，则,A,的逆矩阵是唯一的,.,判定定理,:,n,阶方阵,A,可逆,且,推论：,设,A,、,B,为同阶方阵，若,则,A,、,B,都可逆，且,最新.,7,3.逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得则称矩,满足规律：,逆矩阵求法：,（,1,）伴随矩阵法,（,2,）推论法,（,3,）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4.,分块矩阵,最新.,8,满足规律：逆矩阵求法：（1）伴随矩阵法分块矩阵的运算规则,5.,初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的,初等变换,矩阵的等价：,如果矩阵,A,经过有限次初等变换变成矩阵,B,就称矩阵,A,与矩阵,B,等价。记作,初等矩阵：,由单位矩阵,E,经过一次初等变换得到的方阵,称为初等矩阵,.,与矩阵的相似、合同相互比较,定理：,左乘变行，右乘变列,最新.,9,5.初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是,解矩阵方程的初等变换法,(,A,、,B,可逆,),矩阵方程,解,最新.,10,解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆)矩阵方程解最新.10,、秩（,A,）：,A,的不等于,0,的子式的最高阶数。,、秩的基本关系式：,、关于秩的重要结论：,6,、矩阵的秩,最新.,11,、秩（A）：A的不等于0的子式的最高阶数。、秩的基本关系,、秩的求法：,1,）初等变法：,2,）若,P,可逆，则,4),当 时，,5),有,r,阶子式不为,0,所有,r,+1,阶子式全为,0,最新.,12,、秩的求法：1）初等变法：2）若P可逆，则4)当,例题,2,设,A,、,B,都是,n,阶方阵，则,e,最新.,13,例题2 设 A、B 都是 n 阶方阵，则 e最新.1,解,最新.,14,解最新.14,解：,R,(,A,)=2,最新.,15,解：R(A)=2最新.15,例,5,解,最新.,16,例5解最新.16,一,.,向量组的线性相关性,1.,向量间的线性运算：加法、数乘。,2.,线性组合、线性表示,(1),判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法,方法,1,：,向量组的线性相关性,是否非零无要求,关键：存在某组 使上式成立，,最新.,17,一.向量组的线性相关性1.向量间的线性运算：加法、数,(2),在判断或证明中，常用到的两个重要结论,结论,1,：,向量 可由向量组 线性表示,结论,2,：,若向量组,线性无关，,而向量组,线性相关，,则向量 必能由向量组 线性表示，,且表示式唯一。,方法,2,：,证下列非齐次线性方程组有解,即：,利用矩阵的初等行变换,行最简形矩阵,最新.,18,(2)在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论1：向量,3.,线性相关性的判别方法,(1),一般方法：设数,使得,成立,求系数是有非零解还是只有零解的问题。,(2),利用向量组的秩判断：,设向量组,的秩为,当 时，线性相关；,当 时，线性无关。,(3),利用常用结论：,1,个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。,2,个非零向量线性相关,对应分量成比例,最新.,19,3.线性相关性的判别方法(1)一般方法：设数使得成立,4.,最大无关组的选取或证明,(1),初等变换法（最常用）,将列向量组写成矩阵,初等行变换,行阶梯或行最简形矩阵,的一个极大无关组，,例,6,：,求向量组,并把其余向量用该极大无关组线性表示。,n,1,个,n,维向量线性相关。,部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。,短的无关，长的也无关；,长的相关，短的也相关。,最新.,20,4.最大无关组的选取或证明(1)初等变换法（最常用）,解：,是一个极大无关组,并且,考虑：还有那些极大无关组？,初等行变换,最新.,21,解：是一个极大无关组并且考虑：还有那些极大无关组？初等行变换,二,.,矩阵的秩、向量组的秩的求法,初等变换后，看非零行的行数。,三,.,关于向量组的秩、矩阵的秩的证明,关于向量组的秩的两个重要定理：,（,1,）若向量组,可以由向量组,线性表示，则,那么 线性相关。,(3)(,三秩相等,),矩阵,A,的秩,A,的行秩,A,的列秩。,（,2,）若向量组 可以由向量组,线性表示，并且,最新.,22,二.矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数,向量空间的概念：,向量的集合对加法及数乘两种运算封闭,；,由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基，维数和坐标；,求向量空间基和维数的方法（生成子空间）；,求向量在给定基底下的坐标。,四,.,向量空间,最新.,23,向量空间的概念：子空间的概念向量空间的基，维数,五,.,正交化与正交矩阵,1.,正交化、单位化,2.,正交矩阵,的,n,个列（行）向量组为单位正交向量组,也是正交矩阵,是正交矩阵，则 也是正交矩阵,最新.,24,五.正交化与正交矩阵1.正交化、单位化2.正交矩,定理,1,设有非齐次线性方程组,(1),定理,2,设有齐次线性方程组（,2,）,设,r,(,A,)=,r,则,线性方程组的解法与解的结构,最新.,25,定理1 设有非齐次线性方程组(1)定理2 设有齐次线性方,定理,1,设有齐次线性方程组（,2,）,方程组的通解、基础解系,最新.,26,定理1 设有齐次线性方程组（2）方程组的通解、基础解系最新,定理,2,设有非齐次线性方程组（,1,）,最新.,27,定理2 设有非齐次线性方程组（1）最新.27,例,7,、,解,1,）是；,2,）,最新.,28,例7、解1）是；2）最新.28,3,）,由（,2,）即得条件,最新.,29,3）由（2）即得条件最新.29,1,、特征值的求法,2,、特征向量的求法,特征值和特征向量,3,、对角化,看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。,方阵 与对角矩阵 相似的条件,:,充要条件,:,充分条件,:,有,n,个,不同特征值,;,或,A,为实对称矩阵,最新.,30,1、特征值的求法2、特征向量的求法特征值和特征向量3、对角化,填空题,已知三阶方阵,的三个特征值为，则,|,A,|,（），,的特征值为（），,的特征值为（），,的特征值为（）,设,k,=0,，,k,是正整数，则,的特征值为（）,若,，则,的特征值为（）,，,-1/2,1/3,，,4,1,16,0,0,1,最新.,31,填空题已知三阶方阵的三个特征值为，则设,4,设,A,是,3,阶方阵，已知方阵,，,，,都不可逆，则,的特征值为（）,已知三阶矩阵,A,的特征值为，,，,则,（）。,1,-1,3,-72,最新.,32,4设A是3阶方阵，已知方阵，已知,例,8,（,1,）求,设,相似于,（,1,）由性质,（,2,）,（,2,）,解,最新.,33,例8（1）求设相似于（1）由性质（2）（2）解最新.33,例,9,最新.,34,例9最新.34,二次型,1,、利用正交变换化为标准形的过程；,2,、正定矩阵的判别方法：,定义法；,利用特征值全大于零；,顺序主子式全大于零。,二次型化为标准形,的矩阵 与对角矩阵 合同,.,求正交变换,化二次型为标准形,找正交矩阵,使,最新.,35,二次型1、利用正交变换化为标准形的过程；2、正定矩阵的判别方,