单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/7/23,#,课题学习 最短路径问题,课题学习 最短路径问题,1,学习目标,1.,能利用轴对称解决简单的最短路径问题,.,（难点）,2.,体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）,学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）,2,将军饮马,课前热身,造桥选址,实践应用,目录,将军饮马课前热身造桥选址实践应用目录,3,1,课前热身,1课前热身,4,1.,如图，连接,A,、,B,两点的所有连线中，哪条最短？,为什么？,A,B,最短，因为两点之间，线段最短,2.,如图，点,P,是直线,l,外一点，点,P,与该直线,l,上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？,P,l,A,B,C,D,PC,最短，因为垂线段最短,1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？AB,3.,在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小,的基本事实？,三角形三边关系：两边之和大于第三边；,斜边大于直角边,.,4.,如图，如何做点,A,关于直线,l,的对称点？,A,l,A,3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小三角形三边关,“两点的所有连线中，,线段最短,”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，,垂线段最短,”等的问题，我们称之为最短路径问题,.,现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”,.,A,B,P,l,A,B,C,D,“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线,2,将军饮马,2将军饮马,8,如图，将军从点,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到营地,B,地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,C,抽象成,A,B,l,数学问题,作图问题：,在直线,l,上求作一点,C,使,AC,+,BC,最短问题,.,实际问题,A,B,l,如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后,问题,1,现在假设点,A,B,分别是直线,l,异侧,的两个点，如何在,l,上找到一个点，使得这个点到点,A,，点,B,的距离的和最短？,A,l,B,C,根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求,.,连接,AB,与直线,l,相交于一点,C,.,问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何,问题,2,如果点,A,B,分别是直线,l,同侧,的两个点，又应该如何解决？,想一想：,对于问题,2,，如何将点,B,“,移,”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都,保持,CB,与,CB,的长度相等,？,A,B,l,利用轴对称，作出点,B,关于直线,l,的对称点,B,.,问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如,解题攻略,作法：,（,1,）,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,；,（,2,）,连接,AB,，与直线,l,相交于点,C,则点,C,即为所求,A,B,l,B,C,解题攻略作法：ABlB C,问题,3,你能用所学的知识证明,AC+BC,最短吗？,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,(,与点,C,不重合,),，连接,AC,，,BC,，,BC,由轴对称的性质知，,BC=BC,，,BC=BC,AC+BC,=,AC+BC=AB,，,AC+BC=AC+BC,在,ABC,中,，,AB,AC+BC,，,AC+BC,AC+BC,即,AC+BC,最短,A,B,l,B,C,C,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图,练一练：,如图，直线,l,是一条河，,P,、,Q,是,两个村庄,.,欲在,l,上的某处修建一个水泵站，向,P,、,Q,两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）,D,练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某,例,1,如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）,A7.5 B5,C4 D不能确定,解析：,ABC,为等边三角形，点,D,是,BC,边的中点，即点,B,与点,C,关于直线,AD,对称,.,点,F,在,AD,上，故,BF=CF.,即,BF+EF,的最小值可转化为求,CF+EF,的最小值，故连接,CE,即可，线段,CE,的长即为,BF+EF,的最小值,.,B,例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、A,方法总结：,此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解,.,方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将,例,2,如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是,y,轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（）,A（0，3）B（0，2）,C（0，1）D（0，0）,解析：作B点关于,y,轴对称点B，连接AB，交,y,轴于点C，此时ABC的周长最小，然后依据点A与点B的坐标可得到BE、AE的长，然后证明BCO为等腰直角三角形即可,B,C,E,A,例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，,方法总结：,求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置,.,方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点,3,造桥选址,3造桥选址,19,如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,.,桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,？,B,A,A,B,N,M,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥M,如图假定任选位置造桥,MN,，连接,AM,和,BN,，从,A,到,B,的路径是,AM+MN+BN,，那么怎样确定什么情况下最短呢？,B,A,?,N,M,N,M,N,M,折,移,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的,我们能否在不改变,AM+MN+BN,的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,1.,把,A,平移到岸边,.,2.,把,B,平移到岸边,.,3.,把桥平移到和,A,相连,.,4.,把桥平移到和,B,相连,.,B,A,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什,B,A,A,B,1.,把,A,平移到岸边,.,AM,+,MN,+,BN,长度改变了,2.,把,B,平移到岸边,.,AM,+,MN,+,BN,长度改变了,BAAB1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变,B,A,3.,把桥平移到和,A,相连,.,4.,把桥平移到和,B,相连,.,AM,+,MN,+,BN,长度有没有改变呢？,攻略：桥的长度,MN,始终不变，要找到,AM+BN,的最小值,BA3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM,B,A,A,1,M,N,如图，平移,A,到,A,1,，使,AA,1,等于河宽，连接,A,1,B,交河岸于,N,作桥,MN,，此时路径,AM,+,MN,+,BN,最短,.,理由,:,另任作桥,M,1,N,，连接,AM,，,BN,，,A,N,.,由平移性质可知，,AM,A,N,，,AA,MN,M,N,，,AM,A,N,.,AM+MN+BN,转化为,，,而,转化为,.,在,A,N,B,中,，因为,A,1,N,1,+,BN,1,A,1,B.,因此,AM+MN+BN.,BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B,A,B,M,N,E,C,D,证明：由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以,A,到,B,的路径长为,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC,CD,DB,CE,则,A,到,B,的路径长为,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中,，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,，,所以桥的位置建在,MN,处,，,A,到,B,的路径,最短,.,ABMNECD证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=,解题攻略：,解决最短路径问题的方法,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择,.,解题攻略：解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时,4,实践应用,4实践应用,28,1.,如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）,AP是m上到A、B距离之和最短的 点，Q是,m上到A、B距离相等的点,BQ是m上到A、B距离之和最短的点，P是,m上到A、B距离相等的点,CP、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点,DP、Q都是m上到A、B距离相等的点,A,1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A,2.,如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=,10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（）,A10 B15,C20 D30,A,2.如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=A,3.,如图，牧童在,A,处放马，其家在,B,处，,A,、,B,到河岸的距离分别为,AC,和,BD,，且,AC,=,BD,若点,A,到河岸,CD,的中点的距离为,500,米，则牧童从,A,处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是,米,.,A,C,B,D,河,1000,3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别,4.,如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P,x,y,O,B,A,B,P,4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格,5.,如图，荆州古城河在,CC,处直角转弯，河宽相同，从,A,处到,B,处，须经两座桥：,DD,EE,（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使,ADD E EB,的路程最短？,A,D,D,C,C,E,E,B,5.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B,解：作,AF,CD,且,AF,=,河宽，作,BG,CE,，,且,BG,=,河宽，连接,GF,与河岸相交于,E,D,.,作,DD,EE,即为桥,.,理由：由作图法可知，,AF,/,DD,，,AF=DD,，,则四边形,AFD,D,为平行四边形，,于是,AD,=,FD,同理，,BE,=,GE,，,由两点之间线段最短可知，,GF,最小,.,A,D,C,C,E,E,B,F,G,D,解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽,6.,（1）如图，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由,（2）如图，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由,（3）如图，在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由,A,B,C,D,P,O,A,B,N,O,A,B,M,图,图,图,图,图,图,6.（1）如图，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P,最短路径问题优质课教学一等奖ppt课件,课堂小结,原理,线段公理和垂线段最短,将军饮马问题,解题攻略,造桥选址问题,关键是将固定线段“桥”平移,最短路径问题,轴对称知识,+,线段公理,解题攻略,课堂小结原理线段公理和垂线段最短将军饮马问题解题攻略造桥选址,37,谢谢！,