单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,垂直于弦的直径,垂直于弦的直径,圆的对称性,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么,?,你能找到多少条对称轴？,O,你是用什么方法解决上述问题的,?,圆是中心对称图形吗？,如果是,它的对称中心是什么,?,你能找到多少个对称中心？,你又是用什么方法解决这个问题的,?,圆的对称性圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找,圆的对称性,圆是轴对称图形,.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴,.,O,可利用折叠的方法即可解决上述问题,.,圆也是中心对称图形,.,它的对称中心就是圆心,.,用旋转的方法即可解决这个问题,.,圆的对称性圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,AM=BM,垂径定理,AB,是,O,的一条弦,.,你能发现图中有哪些等量关系,?,与同伴说说你的想法和理由,.,作直径,CD,使,CDAB,垂足为,M.,O,右图是轴对称图形吗,?,如果是,其对称轴是什么,?,小明发现图中有,:,A,B,C,D,M,由 ,CD,是直径,CDAB,可推得,AC=BC,AD=BD.,AM=BM,垂径定理AB是O的一条弦.你能发现图中有哪些,垂径定理,如图,小明的理由是,:,连接,OA,OB,O,A,B,C,D,M,则,OA=OB.,在,RtOAM,和,RtOBM,中,OA=OB,，,OM=OM,，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点,A,和点,B,关于,CD,对称,.,O,关于直径,CD,对称,当圆沿着直径,CD,对折时,点,A,与点,B,重合,AC,和,BC,重合,AD,和,BD,重合,.,AC=BC,AD=BD.,垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB,OABCDM,垂径定理,三种语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,.,老师提示,:,垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如,.,O,A,B,C,D,M,CDAB,如图,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,垂径定理三种语言定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的,CDAB,垂径定理的逆定理,AB,是,O,的一条弦,且,AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系,?,与同伴说说你的想法和理由,.,过点,M,作直径,CD.,O,右图是轴对称图形吗,?,如果是,其对称轴是什么,?,小明发现图中有,:,C,D,由 ,CD,是直径,AM=BM,可推得,AC=BC,AD=BD.,M,A,B,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧,.,CDAB,垂径定理的逆定理AB是O的一条弦,且AM=B,你可以写出相应的命题吗,?,相信自己是最棒的,!,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中,:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论,.,O,A,B,C,D,M,CD,是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.,你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件,B,C,O,A,E,D,图形分析：,1,、,ABC,是等腰三角形,（,OE,是,ABC,的,AB,边上的高，,AB,边上的中线，,AOB,的角平分线。）,2,、,Rt AOE Rt BOE,（勾股定理）,BCOAED图形分析：,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,若,AB=8,，,AO=5,则，,OE=,，,DE,=,。,思路指导：,求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题,.,B,C,O,A,E,D,.,例,1,、,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E,B,C,O,A,E,D,.,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,若,AB=16,，,OE=6,则，,AO=,，,DE,=,。,变式,1,：,BCOAED.如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CD,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,若,OE=5,，,AO=13,则，,AB=,，,DE,=,。,B,C,O,A,E,D,.,变式,2,：,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E,C,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,若,DE=8,，,AO=20,则，,OE=,，,AB,=,。,B,C,O,A,E,D,.,变式,3,：,C如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,若,OE=9,，,DE=6,则，,AO,=,，,AB,=,。,B,C,O,A,E,D,.,变式,4,：,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,若,AB=40,，,DE=10,，则,OE=,，,AO,=,。,B,C,O,A,E,D,.,变式,5,：,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E,小结：在圆的半径，弦长，弦心距及拱高四个量中，只要已知两个量，我们就可以借助勾股定理求出另外的两个量。,小结：在圆的半径，弦长，弦心距及拱高四个量中，只要已知两个量,赵州石拱桥,解：如图，用 表示桥拱，所在圆的圆心为,O,，半径为,Rm,，,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,，,D,为垂足，与 相交于点,C.,根,据垂径定理，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,.,由题设,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,解得,R27.9,（,m,）,.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为,27.9m.,R,D,37.4,7.2,赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱，所在圆,E,例,2,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。,求证：,AC,BD,。,.,A,C,D,B,O,垂径定理的应用,讲解,图,解决有关弦的问题时，经常,连结半径,；,过圆心作一条与弦垂直的线段,等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,方法归纳：,E例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A,变式,1,：如图：,OA=OB,，,AC=BD,吗？为什么？,.,A,C,D,B,O,图,变式1：如图：OA=OB，.ACDBO图,变式,2,：,如图：,OA=OB,，,AC=BD,吗？为什么？,A,C,D,B,O,图,变式2：如图：OA=OB，ACDBO图,已知,O,的半径为,10,，弦,ABCD,，,AB=12,，,CD=16,，则,AB,和,CD,的距离为,2,或,14,提高练习,:,.,O,.,O,A,D,C,B,A,B,C,D,已知O的半径为10，弦ABCD，AB=12，CD=16，,谢 谢 各 位,作 业,谢 谢 各 位作 业,