*,*,第四节（II）曲线的凹凸性,一 复习前面所学知识,二 授课内容,：,1、凹凸性定义,2、拐点及其求法,三 小结与思考判断题,凹凸,拐点,总结,复习,(Concavity and Convex of Curvel),11/16/2024,1,第四节（II）曲线的凹凸性一 复习前面所学知识二 授课内,一,问题的提出,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,A,B,M,N,11/16/2024,2,一 问题的提出问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段,二 曲线凹凸的定义,11/16/2024,3,二 曲线凹凸的定义10/6/20233,凹弧：,曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。,凸弧：,曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。,车轨,11/16/2024,4,凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。凸弧：曲线上任意一,三 曲线凹凸的判定,定理1,11/16/2024,5,三 曲线凹凸的判定定理110/6/20235,分析,：,任取两点,证明：1,）,要证,即证,11/16/2024,6,分析：任取两点证明：1）要证即证10/6/20236,两式相加为,：,即证：,事实上,：,而,同理可证明2）,11/16/2024,7,两式相加为：即证：事实上：而同理可证明2）10/6/2023,例1,解,注意到,放大图象,放大图象,11/16/2024,8,例1解注意到,放大图象放大图象10/6/20238,四 曲线的拐点及其求法,1 定义,注1,:拐点处的切线必在拐点,处穿过曲线.,11/16/2024,9,四 曲线的拐点及其求法1 定义注1:拐点处的切线必在拐点,证,2 拐点的必要条件,由可导函数取得极值的条件，,11/16/2024,10,证2 拐点的必要条件由可导函数取得极值的条件，10/6/2,3 拐点的求法,步骤：,11/16/2024,11,3 拐点的求法步骤：10/6/202311,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,11/16/2024,12,例2解凹的凸的凹的拐点拐点10/6/202312,11/16/2024,13,10/6/202313,11/16/2024,14,10/6/202314,凹、降,凸、降,拐点,极大值,拐点,凹、升,凸、升,11/16/2024,15,凹、降凸、降拐点极大值拐点凹、升凸、升10/6/202315,例4,解,11/16/2024,16,例4解10/6/202316,五 小结与思考判断题,凹凸性的定义;曲线的弯曲方向,拐点的定义;改变弯曲方向的点,凹凸性的判定.,拐点的求法,返回,11/16/2024,17,五 小结与思考判断题凹凸性的定义;曲线的弯曲方向拐点,思考判断题,11/16/2024,18,思考判断题10/6/202318,缩小图象,11/16/2024,19,缩小图象10/6/202319,