,3.2.1几类不同增长的函数模型,主页,（一）,3.2.1,几类不同增长的函数模型,（一）3.2.1几类不同增长的函数模型,【,教学重点,】,【,教学目标,】,【,教学难点,】,课程目标,【,教学手段,】,多媒体电脑与投影仪,将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义,怎样选择数学模型分析解决实际问题,.,借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对指数函数，对数函数以及幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性,【教学重点】【教学目标】【教学难点】课程目标【教学手段】多媒,问题情景,问题情景,问题情景,假如某公司每天向你投资,10,万元,共投资,30,天,.,公司要求你给他的回报是,:,第一天给公司,1,分钱，第二天给公司,2,分钱，以后每天给的钱都是前一天的,2,倍，共,30,天,你认为这样的交易对你有利吗？,阅读课本,95,97,页例,1,，边阅读边思考下面的问题：,问题情景 假如某公司每天向你投资10万元,共投,【,例,1】,假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：,方案一：,每天回报,40,元；,方案二：,第一天回报,10,元，以后每天比前一天多回报,10,元；,方案三：,第一天回报,0.4,元,以后每天的回报比前一天翻一番,.,请问,你会选择哪种投资方案？,在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？,构建数学,探究一,投资天数、回报金额,【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,解,:,设第,x,天所得回报是,y,元，则,方案一：,方案二：,方案三：,在本问题中涉及哪些数量关系？,如何用函数描述这些数量关系？,探究一,解:设第x天所得回报是 y元，则方案一：方案二：方案三：,上述的三个数学模型,第一个是,常数函数,另两个都是,递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？,方法,1:,我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,探究二,请同学们对函数增长情况进行分析,方法是,列表观察,或作出,图象观察,.,上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个,x,/,天,方案一,方案二,方案三,y,/,元,增加量,/,元,y,/,元,增加量,/,元,y,/,元,增加量,/,元,1,40,0,10,0.4,0.4,2,40,0,20,10,0.8,0.8,3,40,0,30,10,1.6,1.6,4,40,0,40,10,3.2,3.2,5,40,0,50,10,6.4,6.4,6,40,0,60,10,12.8,12.8,7,40,0,70,10,25.6,25.6,8,40,0,80,10,51.2,51.2,9,40,0,90,10,102.4,102.4,10,40,0,100,10,204.8,30,40,0,300,10,214748364.8,107374182.4,根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？,三种方案每天回报表,x/天 方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增,x,4,2,6,8,10,12,y,20,40,60,80,100,120,140,o,x42681012y20406080100120140o,底数为,2,的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多,.,从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？,你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？,方法,2,：,我们来作出三种方案的三个函数的图象：,底数为2 的指数函数模型比线性函数模型增长速,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,方案一,40,80,120,160,200,240,280,320,360,400,440,方案二,10,30,60,100,150,210,280,360,450,550,660,方案三,0.4,1.2,2.8,6,12.4,25.2,50.8,102,204.4,409.2,818.8,结论,:,投资,16,天,应选择方案一,;,投资,7,天,应选择方案一或二,;,投资,810,天,应选择方案二,;,投资,11,天,(,含,11,天,),以上,则应选择方案三,.,回报,天数,方案,累计回报表：,方案一,方案二,方案三,1234567891011方案一40801201602002,你,30,天内给公司的回报为,:,0.01+0.012+0.012,2,+,+0.012,29,300,万元,解答,:,公司,30,天内为你的总投资为,:,情景问题解答,假如某公司每天向你投资,10,万元,共投资,30,天,.,公司要求你给他的回报是,:,第一天给公司,1,分钱，第二天给公司,2,分钱，以后每天给的钱都是前一天的,2,倍，共,30,天,你认为这样的交易对你有利吗？,=10737418.231074(,万元,).,1074,-,300=774(,万元,).,你30天内给公司的回报为:0.01+0.012+0.01,实际应用问题,分析、联想,抽象、转化,构建数学模型,解答数学问题,审 题,数学化,寻找解题思路,还原,(,设,),(,列,),(,解,),(,答,),解答例,1,的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：,实际应用问题分析、联想构建数学模型解答数学问题审 题数学化,【,例,2】,某公司为了实现,1000,万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案,:,在销售利润达到,10,万元时,按销售利润进行奖励,且奖金,y,(,单位,:,万元,),随销售利润,x,(,单位,:,万元,),的增加而增加,但奖金总数不超过,5,万元,同时奖金不超过利润的,25%.,现有三个奖励模型：,y,=,0.25x,y,=,log,7,x,+1,y,=,1.002,x,其中哪个模型能符合公司的要求？,【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激,本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？,一次函数模型,实质,:,分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况,y,=,0.25,x,y,=log,7,x,+1,对数函数模型,指数函数模型,y,=,1.002,x,探究一,本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什,销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润,1000,万元,所以销售利润,x,可用不等式表示为,_.,依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的,25%,所以奖金,y,可用不等式表示为,_.,依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过,5,万元,所以奖金,y,可用不等式表示为,_.,10,x,1000,0,y,5,0,y,25%,x,你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗,?,探究二,销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？,奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：,(1),奖金总数不超过,5,万元；,(2),奖金不超过利润的,25%.,因此,在区间,10,1000,上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果,.,探究三,你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符,400,600,800,1000,1200,200,1,2,3,4,5,6,7,8,x,y,o,y,=5,y=0.25,x,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,40060080010001200200 1 2 3,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型,y,=0.25,x,它在区间,10,1000,上递增,当,x,20,时,y,5,因此该模型不符合要求,;,探究四 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型,y,=1.002,x,它在区间,10,1000,上递增,观察图象并结合计算可知,当,x,806,时,y,5,因此该模型不符合要求,.,探究四 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型,y,=log,7,x,+1,它在区间,10,1000,上递增,观察图象并结合计算可知,当,x,=1000,时,y=log,7,1000+14.551),幂函数,y=x,n,(,n0,),与指数函数,y,=,a,x,(,a,1),在区间,(0,+,),上,都是增函数,但它们的增长是有差异的,.,那么这种差异的具体情况到底是怎样呢,?,问题情景 对数函数y=logax(a1),幂函数y,以函数,y,=2,x,y=,log,2,x,y=x,2,为例,.,探究一,制作函数值表,(,借助计算器制表,).,观察表格,三个函数的增长速度是不同的,.,总体来讲,随着,x,的增大,y=,log,2,x,的增长速度最慢,;,y,=2,x,和,y=x,2,的增长速度有变化,一开始,y,=2,x,的增长速度快,后来,y=x,2,增长速度快,.,以函数y=2x,y=log2x,y=x2为例.探,1,2,3,4,x,y,o,1,y=,log,2,x,y=x,2,y,=2,x,探究一,画函数图象,(,描点或借助计算机作图,).,1234xyo1y=log2xy=x2y=2x探究一画函,观察图象可以看出,:,三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分别标出不等式,log,2,x,2,x,x,2,和,log,2,x,x,2,2,x,成立的,x,的取值范？,(1)0,x,4,时,(2)2,x,x,2,有时,2,x,x,2,但当,x,越来越大时,2,x,的增长速度远快于,x,2,.,问题,(2),观察图象,试求出可使下列不等式成立的,x,的取值范围,.,(1)0,x,4,时,(2)2,x,1),指数函数,y,=,a,x,(,a,1),与幂函数,y=x,n,(,n0,),都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,.,随着,x,的增大,y,=,a,x,(,a,1),的增长速度越来越快,会超过并远远大于,y=x,n,(,n0,),的增长速度,而,y=,log,a,x,(,a,1),的增长速度则会越来越慢,.,因此总存在一个,x,0,当,x,x,0,时,就会有,3.,幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论,答:在区间(0,+)上,尽管对数函数y=logax(a,结论,1:,的增长快于 的增长，所以存在一个 ，使,x,时,有,.,结论,2:,的增长快于 的增长，所以存在一个 ，使,x,时,有,.,结论,3,：在区间（,0,，,+,）上，函数,(a1,）,（,a1),(n0),都是增函数，,但它们的增长速度不同。随着,x,的增大,(a1,）的增长速度越来越快，远远大于,（,n0),的增长速度，而,(a1),的,增长速度则越来越慢，因此，会存在一个 ，当,时，有,结论1:的增长快于 的增长，所以存在,探究,以函数,为例,.,思考,:,你能用同样的方法,讨论函数,y=,log,a,x,(0,a,1),y=a,x,(0,a,1),与幂函数,y=x,n,(,n,0),在区间,(0,+),上衰减情况吗,?,探究以函数 为,结论,:,在区间,(0,+),上,尽管对数函数,y=,log,a,x,(0,a,1),y,=,a,x,(0,a,1),与,y=x,n,(,n0,),都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上,.,随着,x,的增大,y=,log,a,x,(0,a,1),的,衰减速度,越来越快,会超过并远远大于,y,=,a,x,(0,a,1),的,衰减速度,而,y=x,n,(,n,x,0,时,就会有,3.,你能用同样的方法,讨论函数,y=,log,a,x,(0,a,1