单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一节 向量及其线性运算,一 问题的提出,四 空间直角坐标系,六 小结与思考判断题,二 向量的概念,三 向量的线性运算,五 利用坐标作向量的线性运算,11/16/2024,1,第一节 向量及其线性运算一 问题的提出四 空间直角坐标,一 问题的提出,在平面解析几何中，我们曾经用代数的方法来解决集合问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。和解决平面问题相仿，我们先是给出空间直角坐标系的定义，接着给出空间中任意一点的坐标表示。和平面上任意两点间的距离相仿我们给出空间中任意两点间的距离公式。,11/16/2024,2,一 问题的提出 在平面解析几何中，我们曾经用代,向量是我们解决空间解析几何问题的一个,重要工具，同时向量的方法也是力学，物理,学以及其他应用学科的一个好的方法。在这,一节，我们在引入向量概念的基础上，给出,向量的加减数乘的概念。同时要会应用向量,来解决空间几何中的问题。大家需要注意的是，向量的方法是我们解决以后问题的一个重要的方法。,11/16/2024,3,向量是我们解决空间解析几何问题的一个10/4/202,向量,：,既有,大小,又有,方向,的量.,向量表示,：,模长为1的向量.,零向量,：,模长为0的向量（它的方向是任意的）.,|,向量的模：,向量的大小（长度）.,单位向量,：,二 向量,(Vector),的概念,或,或,或,11/16/2024,4,向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量,自由向量,：,不考虑起点位置的向量,.,相等向量,：,大小相等且方向相同的向量.,负向量,：,大小相等但方向相反的向量,.,向径,：,空间直角坐标系中任一点,与原点构成的向量.,11/16/2024,5,自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同,1 加法,(Addition),：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,三 向量的线性运算,（Operations of Vectors),11/16/2024,6,1 加法(Addition)：（平行四边形法则）特殊地：若,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,2 减法,(Subtraction),11/16/2024,7,向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：2,(Multiplication by Numbers),3 向量与数的乘法,11/16/2024,8,(Multiplication by Numbers)3,数与向量的乘积符合下列运算律,（1）结合律：,（2）分配律：,（3）分配律：,向量相加及数乘向量统称为向量的,线性运算.,11/16/2024,9,数与向量的乘积符合下列运算律（1）结合律：（2）分配律：（3,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,11/16/2024,10,按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的,我们用数乘向量来说明两个向量的平行关系：,证,条件的充分性显然；,下证必要性,11/16/2024,11,我们用数乘向量来说明两个向量的平行关系：证条件的充分性显然；,两式相减，得,11/16/2024,12,两式相减，得10/4/202312,例1,化简,解,11/16/2024,13,例1 化简解10/4/202313,平行四边形的对角线,互相平分,解,11/16/2024,14,平行四边形的对角线解10/4/202314,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,四 空间直角坐标系,11/16/2024,15,横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,11/16/2024,16,面面面空间直角坐标系共有八个卦限10/4/2,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,11/16/2024,17,空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点10/,轴X上点P,轴Y上点P,轴Z上点P,11/16/2024,18,轴X上点P轴Y上点P轴Z上点P10/4/202318,空间的点M,向量的坐标式,11/16/2024,19,空间的点M向量的坐标式10/4/202319,空间两点间的距离,11/16/2024,20,空间两点间的距离10/4/202320,空间两点间距离公式,特殊地：若两点分别为,11/16/2024,21,空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为10/4/202321,五 利用坐标作向量的线性运算,利用向量的坐标，可得向量的加减法、向量与数的乘法运算,11/16/2024,22,五 利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加,解,设,为直线上的点，,11/16/2024,23,解设为直线上的点，10/4/202323,由题意知：,11/16/2024,24,由题意知：10/4/202324,六 向量 的模、方向角、投影,11/16/2024,25,六 向量 的模、方向角、投影10/4/202325,11/16/2024,26,10/4/202326,解,原结论成立.,11/16/2024,27,解原结论成立.10/4/202327,解,设P点坐标为,所求点为,11/16/2024,28,解设P点坐标为所求点为10/4/202328,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,2 向量的方向角与方向余弦,11/16/2024,29,空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,11/16/2024,30,向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.10/4/20,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,11/16/2024,31,当,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,11/16/2024,32,方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为10/4/2023,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,11/16/2024,33,解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向或10/4/20,解,11/16/2024,34,解10/4/202334,11/16/2024,35,10/4/202335,空间一点在轴上的投影,11/16/2024,36,空间一点在轴上的投影10/4/202336,3 向量在轴上的投影,11/16/2024,37,3 向量在轴上的投影10/4/202337,空间一向量在轴上的投影,11/16/2024,38,空间一向量在轴上的投影10/4/202338,关于向量的投影定理（1）,证,11/16/2024,39,关于向量的投影定理（1）证10/4/202339,关于向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,11/16/2024,40,关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）10/4/202,证,于是,11/16/2024,41,证于是10/4/202341,解,11/16/2024,42,解10/4/202342,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（平行四边形法则）,（注意数乘向量的方向）,向量在轴上的投影与投影定理.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向余弦的坐标表示式.,（注意分向量与向量的坐标的,区别,）,七 小结与思考判断题,11/16/2024,43,向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（平行四边形法则）（注意,思考判断题,11/16/2024,44,思考判断题10/4/202344,