第节 全概率公式与贝叶斯公式.ppt,第节 全概率公式与贝叶斯公式.ppt,2,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式,P,(,A,+,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A、B,互不相容,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,2 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂,3,A,1,A,2,A,3,A,4,A,6,A,7,A,5,A,8,B,3A1A2A3A4A6A7A5A8B,4,由概率的,可加性,及,乘法公式,有,这个公式称为,全概率公式,，它是概率论的基本公式.,4由概率的可加性及乘法公式,有 这个公式称为全概率公式，它,5,全概率公式,利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和,5全概率公式 利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计,6,例1,市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为,30、,20、50,且三家工厂的次品率分别为,3、3、,1,，试求市场上该品牌产品的次品率.,设,A,1,、,A,2,、,A,3,分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；,B,表示买到一件次品，,解,加权平均,显然,A,1,、,A,2,、,A,3,构成一个完备,事件组，,由题意有,由全概率公式，,6例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知,7,例2,袋中有,a,个白球,b,个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？,解,分别记,A,B,为第一次、第二次摸到白球，,由全概率公式,7例2 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸,8,解,例3,袋中有,a,个白球,b,个黑球，分别以,A,B,记第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用无放回摸球,，,试分别判断,A,B,的独立性.,(1)有放回摸球,所以,A,B,相互独立.,全概率公式,8解例3 袋中有a个白球b个黑球，分别以A,B记第一次、第二,9,(2)无放回摸球,所以,A,B,不相互独立.,9(2)无放回摸球,所以A,B不相互独立.,10,在上面例1中，如,买到,一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.,(贝叶斯公式),定理,10 在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率,11,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件,B,已发生的条件下，寻找导致,B,发生的每个原因,A,k,的概率.,11贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes),12,贝叶斯,Thomas Bayes,，英国数学家，,1702,年出生于伦敦，做过神甫,.1742,年成为英国皇家学会会员,.1763,年,4,月,7,日逝世,.,贝叶斯在数学方面主要研究概率论,.,他对统计推理的主要贡献是使用了,“,逆概率,”,这个概念,在,1763,年提出了著名的贝叶斯公式.,12贝叶斯 Thomas Bayes，英国数学家，1702年,13,所以这件商品最有可能是甲厂生产的.,例4,已知三家工厂的市场占有率分别为,30、20、50,次品率分别为,3、3、1,.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,0.3,0.2,0.5,0.45,0.3,0.25,解,13所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例4 已知三家工厂的,14,全概率公式可看成,“,由原因推结果,”,而贝叶斯公式的作用在于,“,由结果推原因,”,:现在一个,“,结果,”,A,已经发生了，在众多可能的,“,原因,”,中,到底是哪一个导致了这一结果？,故,贝叶斯公式,也称为,“,逆概公式,”,.,14 全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式,15,在不了解案情细节(事件,A,)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,丙,乙,甲,P,(,A,1,),P,(,A,2,),P,(,A,3,),但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.,P,(,A,1,|,B,),知道,B,发生后,P,(,A,2,|,B,),P,(,A,3,|,B,),偏小,最大,15 在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前,16,在实际工作中检查的指标,B,一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这一方法是有实用价值的.,16 在实际工作中检查的指标 B 一般有多个，综合这些,17,下面举一个,实际的,医学例子，说明贝叶斯公式在,解决,实际问题中的作用.,解,例5,17 下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际,18,因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相当小.当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其他检验手段.,思考,：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？,18 因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正,19,贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中,也,有重要应用.,有人,依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作,“,贝叶斯统计,”,.可见贝叶斯公式的影响.,19 贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中也有重要应,20,解,例6,10个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随机取出2个，用过后放回.现在第二次比赛 又取出 2个，问第二次取到几个新球的概率最大？,20解例6 10个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随,21,具体计算得,21具体计算得,22,由全概率公式，,所以第二次取到一个新球的概率最大.,22由全概率公式，所以第二次取到一个新球的概率最大.,23,如果发现第二次取到的是两个新球，问第一次没有取到新球的概率为多大？,由贝叶斯公式，,23 如果发现第二次取到的是两个新球，问第一次没有取到,24,解,例7,甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为,0.4,0.5,0.7,如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为,0.2；,如果有两人击中，则飞机 被击落的 概率为,0.6；,如果三人都击中，则飞机一定被 击落.(1)求飞机被击落的概率；(2)若飞机被击落，求是 三人同时击中的概率,由独立性,24解例7 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概,