单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,4,.,1,圆的有关性质/,2,4,.,1,圆的有关性质/,24.1,圆的有关,性质,24.1.4,圆周角,人教版,数学,九,年级 上册,24.1 圆的有关性质人教版 数学 九年级 上册,1,问题,1,什么叫圆心角？指出图中的圆心角？,顶点在圆心,的角叫圆心角,BOC.,问题,2,如图，,BAC,的顶点和边有哪些特点,?,A,BAC,的顶点在,O,上，角的两边分别交,O,于,B,、,C,两点,.,导入新知,问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心的,1.,理解,圆周角,的概念，,会叙述并证明,圆周角定理,.,3.,理解掌握,圆周角定理的推论,及其证明过程,.,2.,掌握圆周角与圆心角的关系并,能运用,圆周角定,理,解决简单的几何问题,.,4.,掌握,圆内接多边形,的概念,及,圆内,接四边形,的性质并能运用其性质进行计算,.,素养目标,1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.3.理解掌,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做,圆周角,.,（两个条件必须同时具备，缺一不可）,探究新知,圆周角的定义,知识点,1,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,练一练,：,下列各图中的,BAC,是否为圆周角并简述理由,.,（,2,）,（,1,）,（,3,）,（,5,）,（,6,）,顶点不在圆上,顶点不在圆上,边,AC,没有和圆相交,探究新知,COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA,如图，连接,BO,、,CO,，得圆心角,BOC,.,试猜想,BAC,与,BOC,存在怎样的数量关系,.,探究新知,圆周角定理及其推论,知识点,2,测量与猜想,如图，连接BO、CO，得圆心角BOC.试猜想,圆心,O,在,BAC,的,内部,圆心,O,在,BAC,的,一边上,圆心,O,在,BAC,的,外部,探究新知,推导与论证,圆心O 在BAC 的 内部圆心O在BAC的一边上圆心O在,圆心,O,在,BAC,的一边上（特殊情形）,OA=OC,A,=,C,BOC,=,A,+,C,证明：,探究新知,圆心O在BAC的一边上（特殊情形）OA=OCA=C,O,A,B,C,D,圆心,O,在,BAC,的内部,证明：,连接,AO,并延长交,O,于,D,.,探究新知,OABCD 圆心O在BAC的内部证明：连接AO并延长交O,B,C,O,A,D,圆心,O,在,BAC,的外部,证明：,连接,AO,并延长交,O,于,点,D,.,探究新知,BCOAD 圆心O在BAC的外部证明：连接AO并延长交O,探究新知,圆周角定理,一条弧,所对的圆周角等于它,所对的,圆心角的一半；,探究新知圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆,问题,1,如图，,OB,，,OC,都是,O,的半径，点,A,D,是上任意两点，连接,AB,，,AC,，,BD,，,CD,.,BAC,与,BDC,相等吗？请说明理由,.,D,BAC=,BDC,答：,相等,.,证明：,在,O,中,，,探究新知,互动探究,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A,D 是上任,D,A,B,O,C,E,F,问题,2,如图，若,A,与,B,相等吗？,答：,相等,想一想：,(1),反过来，若,A,=,B,，那么 成立吗？,(2),若,CD,是直径，你能求出,A,的度数吗？,证明：,连接,OC,，,OE,，,OD,，,OF,成立,90,探究新知,DABOCEF问题2 如图，若,D,A,B,O,C,E,F,答：,相等,证明：,连接,OC,，,OE,，,OD,，,OF,探究新知,DABOCEF答：相等证明：连接OC，OE，OD，OF探,A,1,A,2,A,3,探究新知,圆周角定理的推论,同弧或等弧所对,的圆周角相等,.,A1A2A3探究新知圆周角定理的推论,试一试,如图，点,A,、,B,、,C,、,D,在,O,上，点,A,与点,D,在点,B,、,C,所在直线的同侧，,BAC,=35.,(1),BOC,=,，理由,是,;,(2),BDC,=,，理由是,.,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,探究新知,试一试(1)BOC=，理由7035同弧,如图，线段,AB,是,O,的直径，点,C,是,O,上的任意一点（除点,A,、,B,外），那么，,ACB,就是直径,AB,所对的圆周角，想一想，,ACB,会是怎样的角？,O,A,C,B,解,：,OA=OB=OC,，,AOC,、,BOC,都是等腰三角形,.,OAC=,OCA,，,OBC,=,OCB,.,又,OAC,+,OBC,+,ACB,=180.,ACB,=,OCA,+,OCB,=180,2=90.,探究新知,如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的,探究新知,圆周角和直径的关系,半圆或直径所对的圆周角是,直角,，,90,的圆周角所对的弦是,直径,.,探究新知圆周角和直径的关系,例,1,如图，,AB,是,O,的直径，,A,=80.,求,ABC,的大小,.,O,C,A,B,解：,AB,是,O,的直径,，,ACB,=90,ABC,=180,-,A,-,ACB,=180,-,90,-,80,=10.,利用圆周角定理及推论求角的度数,素养考点,1,探究新知,例1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小,1,.,如图，,AB,是,O,的直径，,A,10,，,则,ABC,_,巩固练习,80,1.如图，AB是O的直径，A10，巩固练习80,例,2,如图，分别求出图中,x,的大小,.,60,x,30,20,x,解：,(1),同弧所对圆周角相等,，,x,=60.,A,D,B,E,C,(2),连接,BF,，,F,同弧所对圆周角相等,，,ABF,=,D,=20,，,FBC,=,E,=30.,x,=,ABF,+,FBC,=50.,60,x,A,B,D,C,探究新知,例2 如图，分别求出图中x的大小.60 x3020 x解,2.,如图,正方形,ABCD,的顶点都在,O,上,P,是弧,DC,上的一点,则,BPC,=,_,.,解析：,连接,BD,则,BD,是直径,BCD,是等腰直角三角形,BDC,=45,BPC,=,BDC=,45.,巩固练习,45,2.如图,正方形ABCD的顶点都在O上,P是弧DC上的一,例,3,如,图，,O,的直径,AC,为,10cm,，弦,AD,为,6cm.,（,1,）求,DC,的长,；,（,2,）若,ADC,的平分线交,O,于,B,求,AB,、,BC,的长,B,解,：,(,1,),AC,是直径,，,ADC,=90.,在,Rt,ADC,中,，,利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等,素养考点,2,探究新知,例3 如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（2,在,Rt,ABC,中,，,AB,2,+,BC,2,=,AC,2,，,(,2,),AC,是直径,ABC,=,90,.,BD,平分,ADC,ADB,=,CDB,.,又,ACB,=,ADB,BAC,=,BDC,.,BAC,=,ACB,AB,=,BC,.,B,解题妙招,在圆周角问题中，若题干中出现“,直径,”这个条件，则找直径所对的圆周角，通过,构造直角三角形,来解决。,探究新知,在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2)AC,3.,如图，,BD,是,O,的直径，,CBD,30,，则,A,的度数为,(,),A,30 B,45,C,60 D,75,C,巩固练习,3.如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数,如果,一个多边形所有,顶点都在同一个圆上,，这个多边形叫做,圆内接多边形,，这个圆叫做这个,多边形的外接圆,.,探究新知,圆内接四边形,知识点,3,如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做,如图，四边形,ABCD,为,O,的内接四边形，,O,为四边形,ABCD,的外接圆,.,猜想：,A,与,C,B,与,D,之间,的关系为：,A,+,C,=180,，,B,+,D,=180,想一想：,如何证明你的猜想呢？,探究新知,探究性质,如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O,弧,BCD,和弧,BAD,所对的圆心角的和是周角，,A,C,180，,同理,B,D,180,，,推论：,圆内接四边形的对角互补,.,证明：,探究新知,弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC,C,O,D,B,A,弧,BCD,和弧,BAD,所对的圆心角的和是周角，,A,C,180，,同理,B,D,180,，,E,B,CD,D,CE,180.,A,D,C,E,.,想一想：,图中,A,与,D,C,E,的大小有何关系？,探究新知,CODBA 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,推论：,圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角,.,C,O,D,B,A,E,探究新知,推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.CODB,例,4,如,图，,AB,为,O,的直径，,CF,AB,于,E,，交,O,于,D,，,AF,交,O,于,G,.,求证：,FGD,ADC,.,证明：,四边形,ACDG,内接于,O,，,FGD,ACD,.,又,AB,为,O,的直径，,CF,AB,于,E,，,AB,垂直平分,CD,，,AC,AD,，,ADC,ACD,，,FGD,ADC,.,素养考点,3,圆内接四边形性质的应用,素养考点,3,探究新知,例4 如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，A,4.,如图，在,O,的内接四边形,ABCD,中，,BOD,120,，那么,BCD,是,(,),A,120 B,100,C,80 D,60,A,巩固练习,4.如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120,1,.,如,图，,O,中，弦,BC,与半径,OA,相交于点,D,，连接,AB,，,OC,若,A,=60，,ADC,=85，则,C,的度数是（）,A25,B,27.5,C30,D35,巩固练习,连接中考,D,1.如图，O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC,2,.,如,图，点,B,，,C,，,D,在,O,上，若,BCD,=130，则,BOD,的度数是（,）,A50B60C80D100,解析：,圆上取一点,A,，连接,AB,，,AD,，,点,A,、,B,、,C、D,在,O,上,BCD,=130，,BAD,=50，,BOD,=100,巩固练习,连接中考,D,2.如图，点B，C，D在O上，若BCD=130，则B,1.,判断,（,1,）同一个圆中等弧所对的圆周角,相等（）,（,2,）相等的弦所对的圆周角也,相等（）,（,3,）同弦所对的圆周角,相等（）,课堂检测,基础巩固题,1.判断课堂检测基础巩固题,2.,已知,ABC,的三个顶点在,O,上,BAC,=50,ABC,=47,则,AOB,=,B,A,C,O,166,课堂检测,基础巩固题,2.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50,BAC,3.,如图，已知,BD,是,O,的直径，,O,的弦,AC,BD,于点,E,，若,AOD,=60,，则,DBC,的度数为（）,A.30,B.40,C.50,D.60,A,课堂检测,基础巩固题,3.如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，,A,B,C,D,O,4.,如图，四边形,ABCD,内接于,O,如,BOD,=130,则,BCD,的度数是（）,A.115,B,.130,C.65,D,.50,C,课堂检测,基础巩固题,ABCDO4.如图，四边形ABCD内接于O,如BOD=1,A,O,B,C,ACB,=2,BAC,证明：,如图，,OA,，,OB,，,OC,都是,O,的半径，,AOB,=,2,BOC,.,求证：,ACB,=2,BAC,.,AOB,=2,BOC,，,课堂检测,能力提升题,AOBCACB=2BAC证明：如图，OA，O,船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是,否遇到暗礁，如图，,A,、,B,表示灯塔，暗礁分布在经,过,A,、,B,两点的一个圆形