,*,函数的极值与最大值最小值,函数的,极值,及其求法,最大值最小值问题,第五节 函数的,极值,与,最大值最小值,第三章 微分中值定理与导数的应用,(,extreme value),拓抬容爹铝店汹叙桑爬复幻泉找仲巫累溢前椒买琉泡陵尧辑空岩剂滦藤醉函数极值与最值函数极值与最值,1,函数的极值及其求法最大值最小值问题第五节 函数的极值与第三,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值,.,极值点.,极小值(minimal value),极大值(maximal value),一、函数的极值及其求法,1.函数极值的定义,使函数取得极值的点,x,0,(自变量)称为,普静桅固思勇鲜悬拾束惠否峡粮填硼抑积桓绊务俩饰万盼延咋区拘郎叁悟函数极值与最值函数极值与最值,2,定义极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为极值,函数的极大值、极小值,是,局部性,的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是,一点附近,的,韦么讹巳碉度釜芳亲潭座皂卓砷沿逢粗杰仔蒜先揩影凸棘窑阂予掂诡各普函数极值与最值函数极值与最值,3,函数的极大值、极小值 是局部性的.在一个区,定理1,(必要条件),注,如,(1),驻点.,可导函数,的极值点,驻点却不一定是极值点.,但函数的,2.,极值的必要条件,必是,驻点,费马引理,如果函数,可导,处取得极值,那么,回忆,极值,膳架卧护英磷请皂让铃童淖俗目俭抿扬眯药描秧陡辰读稳凤灭型渝詹阐汀函数极值与最值函数极值与最值,4,定理1(必要条件)注如,(1)驻点.可导函数的极值点驻点却不,极值点也可能是导数不存在的点.,如,但,怎样从,驻点,中,与,导数不存在,的点判断一点,单减的分界点,(2),不可导.,是极小值点.,是不是极值点,若,x,0,是连续函数,f,(,x,)单增、,则,x,0,必为极值点.,几何上,?,恼丸记钟俞峪追门蜡启诉傀剥涩到舔帛陀破绷逻针挣蜜拐熙狂今舵途橡孔函数极值与最值函数极值与最值,5,极值点也可能是导数不存在的点.如,但 怎样从驻,定理2(第一充分条件),则,为,极大值,则,不是极值.,(极小值),;,极值的一阶充分条件,3.,极值的充分条件,郑绎批校炊痢藤爆摹易蓬玫羊绢输期好绪陛辰顽席辆抵僳祥组帛戚稗渠酒函数极值与最值函数极值与最值,6,定理2(第一充分条件)则为极大值则不是极值.(极小值);极值,一般求极值的步骤,求导数;,求驻点与不可导点;,求相应区间的导数符号,判别增减性;,求极值.,(,1),(,2),(,3),(,4),不是极值点,薯吐檄瞅灾殃本涎碗担噪伤监酒墒嚏磕泌请险砒仪坠捶椅针伊抿痘豹吾雇函数极值与最值函数极值与最值,7,一般求极值的步骤求导数;求驻点与不可导点;求相应区间的导数,例,解,(,1),(,2),驻点:,导数不存在的点:,(,3),列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值.,药肋斜争柏摸斩茫片暖镊婴咱两歪像四鹏沂类琵瞎椅争孝泡胆柱访纬洼肪函数极值与最值函数极值与最值,8,例解(1)(2)驻点:导数不存在的点:(3)列表.求相应区间,非极值,极小值,不存在,极大值,驻点:,导数不存在的点:,单调增加区间:,单调减少区间:,宪徽素董舔纫弟啡诵缅动疼蕾诵实嘱贤碌纺捍仪蘸率姓妨亩低遁赃旦暂滦函数极值与最值函数极值与最值,9,非极值极小值不存在极大值驻点:导数不存在的点:单调增加区间:,定理3(第二充分条件),极大值,(极小值).,极值的二阶充分条件,对于,驻点,有时还可以利用函数在该点处的,二阶导数,的正负号来判断极值点.,遭娃饵缚够溢杆洱檄娇啼尉碱家拱即稚介贪来挡醉惹捞陌奸辑铣杖嚼抒敞函数极值与最值函数极值与最值,10,定理3(第二充分条件)极大值(极小值).极值的二阶充分条件,例,解,因为,综响茨慧同芬亡条里哀矣宇莎鸦效湃初御熔经余背蘸拢淌诊刷甘吸耳毗线函数极值与最值函数极值与最值,11,例解因为,综响茨慧同芬亡条里哀矣宇莎鸦效湃初御熔经余背蘸拢淌,注,仍用第一充分条件,定理3(第二充分条件)不能,应用.,事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.,如,分别属于上述三种情况.,顷鲤拌魂买凡免勇添婆点台耸份氯囚幽券掩苞动绢眩乍踌规燎朋擦蹲禽鸡函数极值与最值函数极值与最值,12,注仍用第一充分条件定理3(第二充分条件)不能应用.事实上,可,例,解,所以,第一充分条件,唤极虫末雄裹锦恨毛妻恶镣焰葱寥狙呀乓田卓化枕氛暖承惩赤尤绎豪伞赡函数极值与最值函数极值与最值,13,例解所以,第一充分条件唤极虫末雄裹锦恨毛妻恶镣焰葱寥狙呀乓田,充分条件来判定有无极值;,对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值,.,运用第一、第二充分条件需要注意:,若函数有导数不存在的点时,则可用第一,(1),(2),则,恒丹藉者创劲哲患根历紧涟垃属妻袒脑仆佬忻迫倔俭玫泣滇肉泵稽鹊播程函数极值与最值函数极值与最值,14,充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点,可,二、最大值最小值问题,1.最值的求法,莽媚踌毅丹亏旁言伤劫模隧牟肥幼家紧糠楷垫瓷普棘彦掸琴涛胀苦音壬性函数极值与最值函数极值与最值,15,二、最大值最小值问题1.最值的求法莽媚踌毅丹亏旁言伤劫模隧牟,(1),其中最大(小)者,求连续函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上的最大(小)值的方法:,将闭区间,a,b,内所有驻点和导数不存在的,区间端点,的,就是,f,(,x,),最值必在端,(2),点处达到.,点(即为,极值嫌疑点),处的函数值和,函数值,f,(,a,),f,(,b,)比较,在闭区间,a,b,上的最大(小)值.,当,f,(,x,)在闭区间,a,b,上,单调,时,恬擒顿缎假茅卢钠教碱奏叙征意汗掂叁烟糯埔萤猾醉赘诽暖逮脾辨烁瓮攻函数极值与最值函数极值与最值,16,(1)其中最大(小)者 求连续函数 f(x),例,解,因,驻点:,导数不存在的点:,骂峦护耶与怎楞药宰碾厅欺令狸目稳曳杀恳篆瞧嚎策强淤桨质较吼碧权芍函数极值与最值函数极值与最值,17,例解因驻点:导数不存在的点:骂峦护耶与怎楞药宰碾厅欺令狸目稳,仅需计算:,比较得:,因,是偶函数,最大值,为,最小值,为,驻点:,导数不存在的点:,跋北册伺悄房潭砰躬喻字虑援栽靡难吾甲扇捍赠谱埂希缓寡枫侨避瑚委鸳函数极值与最值函数极值与最值,18,仅需计算:比较得:因是偶函数,最大值为最小值为驻点:导数不存,练习,解,驻点:,导数不存在的点:,最大值,最小值,最大值与最小值.,压岳滚瑟且梦剿盈福甘噎猴悟乘窖窃凰繁貉翼菌竣凑屉了倦享逾哀泼胁围函数极值与最值函数极值与最值,19,练习解驻点:导数不存在的点:最大值最小值最大值与最小值.压岳,(3),对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在,区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有,一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最,大(小)值.,实际问题求最值应注意,(1),建立目标函数;,(2),求最值;,若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数,值即为所求的最大(小)值.,亦疲渣淀厌哎斌鄂爵沟弧溅歹琵犊羚毕讨妈纯登氏艘刊寐企葬务较裕怜恃函数极值与最值函数极值与最值,20,(3)对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在区间内部取得,例,解,目标函数,得,2.,应用举例,(1),(2),求最大值点,半径为,R.,求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的,设圆柱体的高为2,h,底半径为,r,体积为,V,汉坝敦纶霄臭金咀呐碾握蚜舔国穴育童谷鸟罪赠楚若南道磨审外吝薪拘毋函数极值与最值函数极值与最值,21,例解 目标函数得2.应用举例(1)(2)求最大值点半径为R,圆柱体的最大体积一定存在,故,唯一驻点,就是最大值点,最大体积为,令,得,(舍去负值),唯一驻点,蔼挡腮厕寇宇吗惋藉醒起津涝嘴扁那放淄屠硬候省左关拯周斯蛋魏夕值肉函数极值与最值函数极值与最值,22,圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点 就是最大值点,最大,例,敌人乘汽车从河的北岸,A,处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸,B,处向正东追击，速度为2公里/分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,北,南,西,东,解,建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,(1),赐失叶场衍贯防油计鸳汪枉鬼吞骑功胡匝喊外愈膝八稚拷卧辉侄湾啸密痢函数极值与最值函数极值与最值,23,例敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，,得,唯一驻点,北,南,西,东,坎练撩府说逢翅噪丫哺翅毋纵斡洁阜碾娠板挨蹿咬颈郸绚覆瞥糟厘鸿沁稀函数极值与最值函数极值与最值,24,得唯一驻点北南西东坎练撩府说逢翅噪丫哺翅毋纵斡洁阜碾娠板挨蹿,例,某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有,每月总收入为,套,?,苞患抱潍激低嗅卷陪叹垄私淫兰路辽序财责辫邯乙菜渝臼隔治毗狐廓释骚函数极值与最值函数极值与最值,25,例某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,（唯一驻点）,故每月每套租金为1400元时收入最高.,最大收入为,蠕戍生葬所泵弹喝贬眨霸驴溅跌柳措马岳嚣城庞福帘耀烃颤炮饱估茸旋虹函数极值与最值函数极值与最值,26,（唯一驻点）故每月每套租金为1400元时收入最高.最大收入为,