单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高二数学 选修,1-1,1.1.2-1.1.3,四种命题与四种命题间的相互关系,学习目标：,1,：掌握四种命题的相互关系,2,：掌握四种命题的真假性定理，互为逆否命题的等价性定理,重点：四种命题的相互关系，四种命 题的真假性定理,难点：四种命 题的真假性定理的应用,复习引入,二、从构成来看，所有的命题都具由条件,p,和结论,q,两部分构成,“,若,p,则,q”,形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果,p,那么,q”“,只要,p,就有,q”,等形式。,其中,p,和,q,可以是命题也可以不是命题,.,一、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题,定义的要点：能判断真假的陈述句,判断为真的语句叫做真命题。,判断为假的语句叫做假命题。,下列四个命题中，命题,(1),与命题,(2)(3)(4),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,若,f(x),是周期函数，则,f(x),是正弦函数；,若,f(x),不是正弦函数，则,f(x),不是周期函数；,若,f(x),不是周期函数，则,f(x),不是正弦函数。,观察命题,(1),与命题,(2),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,若,f(x),是周期函数，则,f(x),是正弦函数；,互逆命题,：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。,原 命 题,：其中一个命题叫做原命题。,逆 命 题,：另一个命题叫做原命题的逆命题。,p,q,q,p,即 原命题,:,若,p,则,q,逆命题,:,若,q,则,p,例如，命题“,同位角相等，两直线平行,”的逆命题是“”。,两直线平行，同位角相等,观察命题,(1),与命题,(3),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,3.,若,f(x),不是正弦函数，则,f(x),不是周期函数,.,p,q,p,原命题,:,若,p,则,q,q,为书写简便,常把条件,p,的否定和结论,q,的否定分别记作,“,p,”,“,q,”,，,读作,“,非,”“,非,q,”,。,否命题,:,若,p,则,q,互否命题：,如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做,互否命题,。如果把其中一个命题叫做,原命题,，那么另一个叫做,原命题的否命题,。,例如，命题“,同位角相等，两直线平行,”的否命题是“”。,同位角不相等，两直线不平行,观察命题,(1),与命题,(4),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,4.,若,f(x),不是周期函数，则,f(x),不是正弦函数,.,p,q,q,原命题,:,若,p,则,q,p,逆否命题,:,若,q,则,p,互为逆否命题：,如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做,互为逆否命题,。,例如，命题“,同位角相等，两直线平行,”的逆否命题是“”。,两直线不平行，同位角不相等,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式,:,原命题,:,逆命题,:,否命题,:,逆否命题,:,若,p,则,q,若,q,则,p,若,p,则,q,若,q,则,p,1,：,要写出一个命题的另外三个命题关键是,分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若,P,则,q”,的形式）,2,：,（,1,）“或”的否定为“且”，（,2,）“且”的否定为“或”，（,3,）“都”的否定为“不都”。,注意：,三种命题中最难写 的是否命题,。,2,）原命题：若,a=0,则,ab=0,。,逆命题：若,ab=0,则,a=0,。,否命题：若,a 0,则,ab0,。,逆否命题：若,ab0,则,a0,。,(,真,),(,假,),(,假,),(,真,),(,真,),例,1,写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：,1,）原命题：若,x=2,或,x=3,则,x,2,-5x+6=0,。,逆命题：若,x,2,-5x+6=0,则,x=2,或,x=3,。,否命题：若,x2,且,x3,则,x,2,-5x+60,。,逆否命题：若,x,2,-5x+60,，则,x2,且,x3,。,(,真,),(,真,),(,真,),3),原命题：若,a b,则,ac,2,bc,2,。,逆命题：若,ac,2,bc,2,则,ab,。,否命题：若,ab,则,ac,2,bc,2,。,逆否命题：若,ac,2,bc,2,则,ab,。,（假）,（真）,（真）,（假）,例,2,若,m0,或,n0,，则,m+n0,。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。,分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”“或”的,否定为“或”“且”。,解：逆命题：若,m+n0,，则,m0,或,n0,。,否命题：若,m0,且,n0,则,m+n0.,逆否命题：若,m+n0,则,m0,且,n0.,（真）,（真）,（假）,小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的,真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命,题真假等价。,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,真,真,真,真,真,假,假,真,假,真,真,假,假,假,假,假,一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况,:,四种命题的真假性关系如下：,1.,两个命题,互为逆否命题,，它们有,相同,的真假性；,2.,两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。,四种命题之间的关系,原命题,若,p,则,q,逆命题,若,q,则,p,否命题,若,p,则,q,逆否命题,若,q,则,p,互为逆否,同,真,同,假,互为逆否,同,真,同,假,互逆命题 真假,无关,互逆命题 真假,无关,互否命题真假,无关,互否命题真假,无关,1.,判断下列说法是否正确。,1,）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2,）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.,四种命题真假的个数可能为（）个。,答：,0,个、,2,个、,4,个。,3,）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4,）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,练一练,3:,写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。,(1),原命题：,若 则,答,:,逆命题：,若 则,否命题：,若 则,逆否命题：,若 则,(2),原命题：若一个数是负数，则它的平方是,0,；,逆命题：,若一个数的平方是,0,，则它是负数；,否命题：,若一个数不是负数，则它的平方不是,0,；,逆否命题：,若一个数的平方不是,0,，则它不是负数,.,试判断上面命题的真假,.,真命题,假命题,假命题,真命题,假,假,假,假,4,、把下列命题改写成,“,若,p,则,q”,的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,.,并判断真假。,解,：,原命题,：,若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点中心对称,;,逆命题：,若一个函数的图象关于原点中心对称,则它是奇函数,;,否命题：,若一个函数不是奇函数,则它的图象不关于原点中心对称,;,逆否命题,:,若一个函数的图象不关于原点中心对称,则它不是奇函数,.,课本,P4,练习,(3),奇函数的图象关于原点中心对称,.,试判断上面命题的真假,.,真命题,真命题,真命题,真命题,否命题,是用,否定条件也否定结论,的方式构成新命题。,命题的否定,是逻辑联结词,“,非,”,作用于判断,只否定结论不否定条件。,对于原命题,:,若,p,则,q,有,否命题,:,若,p,则,q,。,命题的否定,:,若,p,，,则,q,。,例,.,命题：,ABC,中，若,C,90,，则,A,、,B,都是锐角,.,命题的否命题是（），命题的否定是（）,(A)ABC,中，若,C90,，则,A,、,B,都不是锐角,(B)ABC,中，若,C90,，则,A,、,B,不都是锐角,(C)ABC,中，若,C90,，则,A,、,B,都不一定是锐角,(D)ABC,中，若,C,90,，则,A,、,B,不都是锐角,否命题与命题的否定,原词语,否定词,原词语,否定词,等于,任意的,是,至少有一个,都是,至多有一个,大于,至少有,n,个,小于,至多有,n,个,对所有,x,成立,对任何,x,，,不成立,所有的,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（,n-1),个,至少有（,n+1),个,存在某,x,，,不成立,存在某,x,，,成立,不等于,某个,某些,下面是一些常见词语的否定,证明命题的方法,方法一：,直接法，,从命题的条件,p,出发，经推理直接得出结论,p,，证明其为真命题；,方法二：,等价法，,证明命题（若,p,，则,q,）的等价命题,逆否命题（若,q,，则,q,）为真，则原命题也为真；,方法三：,反证法，,证明,命题的否定（若,p,，则,q,）,为假命题，从而间接地证明了命题（若,p,，则,q,）为真命题。,例,1,：,证明：,若,p,q,2,，则,p,2,q,2,2.,证明一：要证,“,若,p,q,2,，则,p,2,q,2,2,”,只需证它的,逆否命题,“,若,p,2,q,2,2,，则,p,q2,”,成立。,p,2,q,2,=2,，则,2=p,2,q,2,2pq pq1,（,p+q,）,2,=p,2,q,2,+2pq=2+2pq 4,p+q 2,逆否命题为真命题，,故原命题也为真命题。,证明二：,假设,p,2,q,2,=2,，,则,2=p,2,q,2,2pq pq1,（,p+q,）,2,=p,2,q,2,+2pq=2+2pq 4,p+q 2,，这与命题的条件,p,q,2,相矛盾,，,假设不成立,，即,p,2,q,2,2,，,故原命题为真命题。,（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）,关于反证法,证明二（反证法）：,假设,p,2,q,2,=2,，,则,2=p,2,q,2,2pq pq1,（,p+q,）,2,=p,2,q,2,+2pq=2+2pq 4,p+q 2,，,这与命题的条件,p,q,2,相矛盾,，,假设不成立,，即,p,2,q,2,2,，,故原命题为真命题。,例,1,：,证明：,若,p,q,2,，则,p,2,q,2,2.,假设原命题结论的反面成立,看能否推出原命题条件的反面成立,尝试成功,得证,反证法的一般步骤：,假设命题的结论不成立,即假,设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3),由矛盾判定假设不正确，,从而肯定命题的结论正确。,反设,归谬,结论,推理过程中一定要用到才行,显而易见的矛盾,(,如和已知条件矛盾,).,1,、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。,2,、导出矛盾有四种可能：,（,1,）与原命题的条件（,题设）,矛盾；,（,2,）与定义、公理、定理等矛盾；,（,3,）与结论的反面（,反设）,成立矛盾。,（,1,）难于直接使用已知条件导出结论的命题；,（,2,）唯一性命题；,（,3,）,“,至多,”,或,“,至少,”,性命题；,（,4,）否定性或肯定性命题。,3,、反证法的使用范围：,几点注意：,（,4,）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。,P,8,习题,1.1 B,组 例,2,：求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。,已知：如图，在,O,中，弦,AB,、,CD,交于,P,，且,AB,、,CD,不是直径,.,求证：弦,AB,、,CD,不被,P,平分,.,证明：,假设,AB,、,CD,被,P,平分,，,则,OP,是等腰,AOB,COD,的底边上的中线，,所以，,OP,AB,OP,CD,但,AB,和,CD,都经过点,P,且与,OP,垂直，这是不可能的，,所以假设不成立，,故弦,AB,、,CD,不被,P,平分，,命题得证。,连结,OA,OB,OC,OD,及,OP,-,课堂小结,1