单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,13.2,自回归过程,AR,(,p,),如果预测是分析的目的，那么，随机过程的元素,对它的过去的依赖性就很重要。这使我们能够利用,已经收集的样本观测值的过去信息预测变量的未来,值。存在这种依赖性的简单例子是自回归过程：,y,t,=,y,t,-1,+,u,t,(13.2.1),便是这样一种过程，其中,u,t,为白噪声。,时间序列,y,1,，,y,2,，,，,y,n,生成过程通常是未知的，,它可能比简单自回归过程,(13.2.1),更复杂，例如,y,t,不,仅依赖,y,t-1,，而且还依赖于,y,t-2,等。更一般地，这个过,程有以下形式：,(13.2.2),其中,u,t,为白噪声，,(13.2.2),称为,p,阶自回归,(Autoregressive),过程,，记作,AR,(,p,),。据此，,(13.2.1),便是一阶自回归过程,AR,(1),。,一、自回归过程的平稳条件,只有产生时间序列的随机过程是平稳的，用自回归,模型进行预测才有意义。因此，我们首先应研究自,回归过程的平稳条件。,(,一,),一阶自回归过程,对于一阶自回归过程,(13.2.1),y,t,=,y,t,-1,+,u,t,=,u,t,+,(,y,t,-2,+,u,t,-1,),=,u,t,+,u,t,-1,+,2,(,y,t,-3,+,u,t,-2,),=,u,t,+,u,t,-1,+,2,u,t,-2,+,3,y,t,-3,=,u,t,+,u,t,-1,+,2,u,t,-2,+,3,u,t,-3,+(13.2.3),可以看到，一阶自回归过程,(13.2.1),可以表示成白噪,声序列的线性组合。,由于,E,(,u,t,)=0,，所以,E,(,y,t,)=0,，平稳条件,1,显然满足。,对,(13.2.3),两端取方差：,V,(,y,t,)=(13.2.4),仅当,|,|,1,时，,(13.2.4),才有,(13.2.5),表明，只有当,|,|,1,时，平稳条件,2,才成立。,由,(13.2.3),有,(13.2.3),(13.2.6),当,|,|,1,时，,(10.2.6),便有,(10.2.7),其中 。,(10.2.7),式表明，仅与间隔时期数,k,有关，,而与时间点,t,无关，平稳条件,3,成立。,综上所述，对于一阶自回归过程,(10.2.1),，只要系数,的绝对值,1,，便是平稳过程。,(,二,),p,阶自回归过程,将,(13.2.2),改写成,(13.2.8),引进算符多项式：,(13.2.9),则,(13.2.8),可改写成：,或,(13.2.10),若,(13.2.2),是平稳随机过程，则必定收敛，即,y,t,可表,示为白噪声的无穷加权和。可以证明 ，收敛,的充要条件是算符多项式 的特征方程,(13.2.11),的根全部在复平面上单位圆周之外，或所有根的模,z,1,。,即,p,阶自回归过程的平稳条件为,(13.2.12),z,1,和,z,2,分别为实部和虚部。,当,p,=1,时，,(13.2.11),写成,1-,z,=0,解方程得 ，,则平稳条件：即,1,同前面的结论相同。,为了研究方便，如果不作特殊说明，本章总是假定：,1.,所有自回归过程都是平稳过程。,当发现时间序列是非平稳的，要清除非平稳性，一,般采用差分法。只要对原始数据进行适当阶数的差,分处理，便可消除非平稳性。,2.,自回归过程中每个元素的期望值都为,0,即,E,(,y,t,)=0,。,如果实际的时间序列的均值,则可对它进行中,心化 ，中心化后的时间序列必然有零期望,值。,二、自回归过程的自相关函数,一阶自回归过程,AR,(1),的自相关函数，利用,(13.2.7),可,直接写出,(13.2.13),AR,(,p,),的自相关函数由于,(13.2.14),将,(10.2.2),代入,(10.2.14),得,(10.2.15),当,k,=0,时，,(13.2.16),对,AR,(1),便有,(13.2.17),再由,(10.2.15),有,(13.2.18),把,(10.2.18),代入,(10.2.17),整理得,(13.2.19),此结果与,(10.2.5),相同。,用 除,(10.2.15),式两端，得,(13.2.20),(10.2.20),便是自回归过程,AR,(,p,),自相关函数的表达,式,(,也称递推公式,),。,在自相关函数表达式,(10.2.20),中，令,k,=1,2,3,，,p,则得一组方程式，称之为尤拉,-,沃克（,Yule-Walker,）,方程：,1,=,1,+,2,1,+,3,2,+,p,p,-1,2,=,1,1,+,2,+,3,1,+,p,p,-2,3,=,1,2,+,2,1,+,3,+,p,p,-3,p,=,1,p,-1,+,2,p,-2,+,3,p,-3,+,p,(1,3,.2.21),其矩阵表达式为：,(13.2.22),简记为,或,(13.2.23),p,中最后一个参数,p,称为偏自相关系数，序列,p,(,p,=1,2,，,3,，,),称为偏自相关函数。,(10.2.20),式表示，当自回归模型的阶为,p,时，则偏,自相关函数,p,+1,及其后的,值皆为零。,例如，当自回归模型的阶数为,2,时，则,3,及其后的,值皆为零。,三、自回归过程,AR,(,p,),的识别与估计,对于自回归模型,(13.2.2),(13.2.2),t,=,p,+1,p,+2,n,矩阵形式为,(13.2.2),其中,(,一,),自回归阶数,p,已知的情况,我们可以将,(13.2.2),看成因变量为,y,t,，自变量为,y,t,-1,y,t,-2,y,t,-,p,的线性回归模型，并可用,OLS,法得出参数,估计值。,对,(13.2.2),应用最小二乘法，得参数估计,应该指出，此时估计量虽然不是无偏的，却是一致,估计量，还是可以接受的。,(,二,),自回归阶数,p,未知的情况,自回归阶数,p,未知的情况，关键是模型的识别，即如,何确定阶数,p,，一旦,p,值确定下来就转化为自回归阶,数,p,已知的情况,问题就解决了。我们这里只介绍偏自,相关系数定阶法。,这种方法是在自回归阶数,k,逐步增加的过程中，通过,对偏自相关系数 的显著性检验来确定适当阶数,p,的方法。偏自相关系数中的第,k,个系数 我们用,表示。,为了对 进行检验，必须知道,OLS,估计量 的抽,样分布。可以证明，对于大样本来讲，如果自回归,过程,(,AR,),的阶数为,p,，那么，在,k,p,时，偏自相关系,数估计量 近似服从期望值为,0,，方差为 的正,态分布,这里的,n,为样本容量。,要判断在,0.05,显著性水平下 是否为,0,，只要考察,的数值是否落在下面的区间内：,(13.2.25),如果 落在这个区间内，则 不显著，即确认,=0,，如果 落在此区间之外，则 显著，,即确认 ,0,。,具体步骤如下：,(1),先构造一个,95%,的置信区间 。,(2),进行逐步回归,第一步，考虑,AR,(1),，计算出 ；,第二步，考虑,AR,(2),，计算出 ；,第三步，考虑,AR,(3),，计算出 ；,这样一步步作下去。如果只有 落在置信区间之,外，其余皆落在区间内，则表明只有 ,0,，因而,p,=1,，产生样本随机过程,AR,(1),。如果 和 落在,置信区间之外，其余皆落在区间之内，则表明,0,，,0,，所以,p,=2,，产生样本随机过程,AR,(2),。其余依此类推。,例,13.2.1,（见课本,337,页）,95%,的偏相关系数置信区间,k,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,0.69,0.26,-0.14,0.01,-0.195,0.09,-0.11,0.04,-0.18,0.07,-0.06,-0.16,样本偏相关系数表 表,13.2.2,从表,13.22,可以看出，只有 和 落在区域以外,，,所以，产生二阶自回归过程,AR(2),。,在,EVeiws,中，可以直接给出结果，如图,13.2.1,所示。,图,13.2.1,由图,13.2.1,可知，只有 和 两个值落在置信区间,以外，其余皆在区间之内，因此，选定,AR,(2),作为样,本生成的自回归模型。,模型,AR,(2),估计的结果如图,13.2.2,所示：,图,13.2.2,即方程为：,=0.49,y,t,-1,+0.27,y,t,-2,