单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、函数的极值及其求法,一、函数的极值及其求法,1,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在,导数为,0,或,不存在的点,.,1)函数的极值是函数的,局部性质,.,例如,(P146例4),为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可,2,函数极值的求法,费马(fermat)引理,-必要条件,在,驻点,或者是,连续不可导点,中去寻找.,因此寻求极值点的方法:,注意:,例如,函数极值的求法费马(fermat)引理-必要条件在驻点,3,定理 1,(极值第一判别法),(是极值点情形),且在空心邻域,内有导数,(1),“左,正,右,负,”,(2),“左,负,右,正,”,定理 1(极值第一判别法)(是极值点情形)且在空心邻域内有,4,求极值的步骤:,(不是极值点情形),(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的,驻点,及,连续不可导点,;,(2)考察这些点,两侧导函数的符号,从而确定极值点;,(3)求出极值点的函数值,即为极值.,求极值的步骤:(不是极值点情形)(1)给出定义域,并找出定义,5,例1.,求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,注意:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令,6,定理2,(极值第二判别法),二阶导数,且,则,在点,取极大值;,则,在点,取极小值.,证:,(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则,7,例2,解,图形如下,例2解图形如下,8,第五节-函数的极值与最大最小值课件,9,注：,运用第二充分条件求极值也有它的局限性.,若(,x,)在驻点,这三个函数在,x=,0 处就分别属于这三种情况.,从而当,只能用第一充分条件来判定,处的二阶导数,(,x,)在,处可能有,极大值,也可能有,极小值,例如:,也可能,没有极值,.,(只需点连续即可),注：运用第二充分条件求极值也有它的局限性.若(x)在驻点这,10,例3.,求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得,11,例4,例4,12,定理3,(判别法的推广),则:,数,且,1),当,为偶数,时,是极小点;,是极大点.,2),当,为奇数,时,为极值点,且,不是极值点.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,证:,利用 在 点的泰勒公式,可得,定理3(判别法的推广)则:数,且1)当 为偶数时,13,例如,例3中,所以,不是极值点.,极值的判别法(定理1,定理3),都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件.,例如,例3中所以不是极值点.极值的判别法(定理1,14,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在,极值点,或,端点,处达到.,求函数最值的方法:,(1),求 在 内的极值可疑点,(2),最大值,最小值,-驻点和不可导点,二、最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点或端点处达到.,15,特别:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到,.,若在此点取,极大 值,则也是,最大 值,.,(小),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),特别:当 在 内只有一个,16,例5.,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:,故函数在,取最小值 0;,在,取最大值 .,例5.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:故函数在取,17,求 最大值。,例,6.,设 是任意两正数，满足：,解:,设,即求,f,(,x,)在(,0,a,)内的最大值,令,得,是区间唯一的驻点，,故 为区间(0,a,)之间的最大值,求 最大值。例6.,18,(,k,为某一常数),例7.,铁路上,AB,段的距离为100 km,工厂,C,距,A,处20,AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D,点应如何选取?,20,解,:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故,AD,=15 km 时运费最省.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,(k 为某一常数)例7.铁路上 AB 段的距离为100,19,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;,20,清楚(视角,最大)?,观察者的眼睛1.8,m,例8.,一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:,设观察者与墙的距离为,x,m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙,2.4 m,处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例8.,21,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使,导数为0 或不存在,的点,(2)第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3)第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0,22,最值点应在极值点和边界点上找;,f,(,x,)在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一的极值点，则必最值点。,2.连续函数的最值,在实际问题中，如果,f,(,x,)有唯一的驻点，则一般为最值点。,最值点应在极值点和边界点上找;f(x)在,23,思考与练习,1.,设,则在点,a,处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:,利用极限的保号性.,思考与练习1.设则在点 a 处().的导,24,2.,设,在,的某邻域内连续,且,则在点,处,(,A,)不可导;,(,B,)可导,且,(C)取得极大值;,(,D,)取得极小值.,D,由,保号性,2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B,25,P45 2（3）.,当,P45 2（3）.当,26,