单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/22,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章矩阵秩与线性方程组,第三章矩阵秩与线性方程组第三章矩阵秩与线性方程组第三章 矩阵的秩与线性方程组矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。,2,1,2021/2/22,第三章矩阵秩与线性方程组第三章矩阵秩与线性方程组第三章矩阵秩,第三章 矩阵的秩与线性方程组,矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。,2,2021/2/22,第三章 矩阵的秩与线性方程组矩阵是线性代数的一个主要研究对,3.2,线性方程组解的判定,3.1,矩阵的秩,3.3,分块矩阵的初等变换及其应用,(*),3.4,应用举例,3,2021/2/22,3.2 线性方程组解的判定3.1 矩阵的秩3.3,第一节,矩阵的秩,定义,1,：在,m,n,阶矩阵,A,中，任取,k,行与,l,列,(,k,m,，,l,n,),，位于这些行列交叉点处的,k,l,个元素按照原来相对顺序所构成的矩阵称为矩阵,A,的,k,l,子矩阵,，当,k,和,l,相等时,此子矩阵为,k,阶方阵,，其行列式称为,矩阵,A,的一个,k,阶子式。,中取,1,，,2,，,3,行和,1,，,2,，,4,列交叉处的元构成的三阶子式为：,4,2021/2/22,第一节矩阵的秩定义1：在mn阶矩阵A中，任取k行与l列(k,m,n,阶矩阵,A,中的,k,阶子式共有 个。,定义,2:,如果在矩阵,A,中有一个不等于,0,的,r,阶子式,D,，且所有,r,1,阶子式,(,如果存在的话,),全等于,0,，,那么,D,称为矩阵,A,的,最高阶非零子式,，数,r,称为,矩阵的,秩,。记作,R,(,A,),。,同时规定，,零矩阵的秩等于,0,。,由定义可得：,（,1,）若矩阵,A,有一个,r,阶子式,不等于零,，则,R(A),r,（,2,）若矩阵,A,的,所有,r+1,阶子式,全为零,，则,R(A)r,(3),对任意,mn,矩阵,A,必有,R(A)=R(A,T,),（,4,）矩阵,A,的,秩,既不会超过它的,行数，,又不会超过它的,列数，即,R(A,mn,)minm,n,(5),若矩阵,B,是矩阵,A,的子矩阵,则,R(B)R(A),（,6,）对,n,阶方阵,A=(a,ij,),若,a,ij,0,，则,R(A)=n,，,称,A,为,满秩矩阵,(,可逆矩阵,),，若,a,ij,=0,则,R(A)n,称,A,为,降,秩矩阵,(,不可逆矩阵,),。,5,2021/2/22,mn阶矩阵A中的k阶子式共有 个。由,由行列式性质可知，在,A,中当所有,r,1,阶子式,全等于零时，所有高于,r,1,阶的子式也全等于零，因此,A,的,秩,R,(,A,),就是,A,中不等于零的子式的最高阶数,(,根据按行、按列展开即可证明）,行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。,定理：初等变换不改变矩阵的秩。,证明：,设,R,(,A,)=,r,，且,A,的某个,r,阶子式,D,r,0.,而所有的,r+1,阶子式,D,r+1,=,0,若,A,经过一次行的初等变换变为,B,1,、则,B,的子式与,A,的相应子式或相等或只差一个符号，故有,R(A)=R(B);,2,、矩阵,B,的子式或者是,A,的相应子式的,k,倍，或是相等，固有,R(A)=R(B);,6,2021/2/22,由行列式性质可知，在 A中当所有r1阶子式全等于零时，,其中,M,1,就是矩阵,A,的一个,r+1,阶子式，故,M,1,=0,，,M,2,是矩阵,A,的一个含第,j,行元的,r+1,阶子式经与若干行对换后得到的行列式，故,M2=0,，所以,Dr+1=0.,无论是以上何种情形，矩阵,B,的,r+1,阶子式都等于,0,，所以有,R(B),r=R(A),7,2021/2/22,其中M1就是矩阵A的一个r+1阶子式，故M1=0，M2是矩阵,以上证明了,A,经过一次行初等变换变为,B,时，有,R(,B,)R(,A,).,由于,B,也可经过一次行初等变换变为,A,，那么同样有,R(,B,)R(,A,).,所以有,R(,A,),R(,B,).,经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。,推论,:,设,A,是任一,mn,矩阵,P,Q,分别是,m,阶,n,阶可逆,(,满,秩,),矩阵,则必有,R(PA)=R(AQ)=R(PAQ),上面的定理给出了求矩阵的秩的一种常用办法。,即就是,对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。,8,2021/2/22,以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时，有R(B),以上证明了,A,经过一次行初等变换变为,B,时，有,R(,B,)R(,A,).,由于,B,也可经过一次行初等变换变为,A,，那么同样有,R(,B,)R(,A,).,所以有,R(,A,),R(,B,).,经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。,9,2021/2/22,以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时，有R(B),10,2021/2/22,102021/2/22,11,2021/2/22,112021/2/22,12,2021/2/22,122021/2/22,13,2021/2/22,132021/2/22,矩阵秩的性质,:,(1)0,R(A,mn,),minm,n;,(2)R(A)=R(AT);,(3),设,k,是不为零的数,则,R(kA)=R(A);,(4),若矩阵,P,Q,可逆,则,R(PA)=R(AQ)=R(PAQ);,(5)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B);,(6)R(A+B),R(A)+R(B);,(7),设,A,B,分别是,mn,矩阵与,ns,矩阵,则,R(AB)minR(A),R(B);,(8),设,A,B,分别是,mn,矩阵与,ns,矩阵,则,R(AB)R(A)+R(B)-n;,(9),设,A,B,分别是,mn,矩阵与,ns,矩阵,且,AB=0,则,R(A)+R(B)n;,14,2021/2/22,矩阵秩的性质:142021/2/22,(5)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B);,证明,:,因为,A,或,B,的最高阶非零子式总是矩阵,(A,B),的非零子式,所以,maxR(A),R(B)R(A,B),设,R(A)=r,R(B)=s,由第,1,章中的定理,1.5,可知,存在可逆矩阵,P,1,P,2,使得,A,T,=P,1,U,1,B,T,=P,2,U,2,其中,U,1,U,2,分别是矩阵,A,T,与,B,T,的行最简形,且,R(A)=R(A,T,)=R(U,1,)=U,1,的非零行数为,r,R(B)=R(B,T,)=R(U,2,)=U,2,的非零行数为,s,于是,15,2021/2/22,(5)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A,(6)R(A+B)R(A)+R(B);,证明,:,将矩阵,A,B,按列分块为,A=(,1,2,n,),B=(,1,2,n,),从而,即矩阵,(A+B,B),与矩阵,(A,B),等价,.,由定理得,R(A+B,B)=R(A,B),因此,R(A+B)R(A+B,B)=R(A,B),R(A)+R(B);,(7),设,A,B,分别是,mn,矩阵与,ns,矩阵,则,R(AB)minR(A),R(B);,证明,:,因为,由性质,(2),及上式又可得,16,2021/2/22,(6)R(A+B)R(A)+R(B);证明:将矩阵A,(8),设,A,B,分别是,mn,矩阵与,ns,矩阵,则,R(AB)R(A)+R(B)-n;,证明,:,设,R(B)=r,由第一章定理可知,存在,m,阶可逆矩阵,P,和,s,阶可逆矩阵,Q,使得,由性质,1,4,5,有,记,AP=(P1,P2),其中,P1,为,mr,矩阵,它是矩阵,(AP),的前,r,列,P2,为,m(n-r),矩阵,它是矩阵,(AP),的后,(n-r),列,则,该不等式称为,西尔维斯特,不等式,17,2021/2/22,(8)设A,B分别是mn矩阵与ns矩阵,则R(AB)R,第二节,线性方程组解的判定,问题,1:,线性方程组有解的充要条件,问题,2,：如何求解？（无穷解，唯一解以及无解）,设有线性方程组：,它的系数矩阵记作,A=(aij),mn,，增广矩阵记作,（,A:b),设,R(A)=r,由前面的知识可知，,r,R(),r+1,且,总可经过初等行变换化为最简梯矩阵,18,2021/2/22,第二节线性方程组解的判定问题1:线性方程组有解的充要条件设有,于是线性方程组可以化为：,由上述方程组可知：,1,、当,d,r+1,0,即,R(A),R(),时,原方程组无解；,2,、当,d,r+1,0,即,R(A),R(),时,原方程组有解。,（,1,）若,r=n,，则方程组的解为,（,2,）若,rn,，则方程组变为,：,这说明，任意给定,x,r+1,x,n,就唯一地确定一组,x,1,x,2,x,r,的值，也就是给出了方程组的一组解。这样的一组表达式，通常称为方程组的,一般解或通解,，而,x,r+1,x,n,称为,自由变量,。,19,2021/2/22,于是线性方程组可以化为：由上述方程组可知：这说明，任意给定x,定理,3,：,n,元线性方程组有解的情况如下,：,（,1,）有解的充分必要条件是,R(A)=R().,(2),有唯一解的充要条件是,R(A)=R()=n.,(3),有无穷多解的充要条件是,R(A)=R()n,定理,4,：,n,元奇次线性方程组,有非零解的充要条件是它的系数矩阵,A,的秩,R(A)n,.,20,2021/2/22,定理3：n元线性方程组有解的情况如下：有非零解的充要条件是它,推论：,n,个方程的,n,元奇次线性方程组,有非