单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,概率论与数,理,统,计,一、条件概率的概念,例,1.4.1,一只盒子里混有,100,只新旧乒乓球，各有黄,白两色，分类如下：,新,40,30,旧,20,10,从盒子中随机取出一个球，若记,A=,从盒子中随机,取出一个球，该球为新球，,40,2,.,60,3,?,若事先知道取出的是黄球，,则上述概率为,记,B=,从盒子中随机取出一个球，该球为黄球,40,40,/100,(,),(,),.,60,60,/100,(,),P,AB,P,A,B,P,B,?,?,?,1.,条件概率的定义,定义,1.4.1,若（,?,?,F,）是一个概率空间,B,?,F,，,且,(,),P,B,0.,对任意,A,?,F,，称,(,),P,A,B,=,),(,),(,B,P,AB,P,为在已知事件,B,发生的条件下事件,A,发生的条件概率。,条件概率的性质,不难验证条件概率,(,),P,B,?,具有概率的三个基本性质,1,）非负性：,?,A,?,F,(,),P,A,B,2,）规范性：,(,),1,P,B,?,?,3,）可列可加性：,i,A,?,?,F,（,i=1,，,2,）,，且,1,A,2,A,互不相容,有,?,?,B,A,P,B,A,P,i,i,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,?,1,2,1,2,1,2,4)?,(,),0,5),(,),1,(,),6),(,),(,),(,),(,).,P,B,P,A,B,P,A,B,P,A,A,B,P,A,B,P,A,B,P,A,A,B,?,?,?,?,?,?,?,例,1.4.2,某种灯泡用,5000,小时未坏的概率为,，用,10000,小时未坏的概率为,，现有一只这种灯泡已用了,5000,小时未坏，问它能用到,10000,小时的概率是多少？,4,3,2,1,解：设,B,=,“,灯泡用到,5000,小时”，,A,=,“,灯泡用到,10000,小时”,?,?,?,?,2,1,4,3,?,?,A,P,B,P,我们知道用到,10000,小时的灯泡一定用了,5000,小时，即,B,A,?,所以,AB=A,，,?,?,?,?,A,P,AB,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,P,B,P,A,P,B,P,AB,P,B,A,P,?,?,?,?,?,?,2,1,3,2,4,3,2,1,这表明，用了,5000,小时的灯泡再用到,10000,小时的可能,性比没有用过的新灯泡用到,10000,小时的可能性大，这是很,自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到,5000,小时的质量,较次的灯泡。,二、乘法公式,若,，,由条件概率定义，可得,(,),0,P,B,?,?,?,?,?,?,?,B,P,B,A,P,AB,P,?,上式称为事件概率的,乘法公式,它可推广到任意有限个事件,设,为任意,n,个事件，满足,n,A,A,A,2,1,?,?,?,0,2,1,?,n,A,A,A,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,3,1,2,1,2,1,?,?,n,n,n,A,A,A,A,P,A,A,A,P,A,A,P,A,P,A,A,A,P,?,?,?,则,?,?,?,?,?,?,A,P,A,B,P,AB,P,?,例,1.4.3,甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来,的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占,20%,，乙,市占,18%,，两地同时下雨占,12%,。,记,A,?,甲市出现雨天,B,?,乙市出现雨天,求：,1,）两市至少有一市是雨天的概率；,2,）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；,3,）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率,。,(,),(,),(,),(,),0.26,P,A,B,P,A,P,B,P,AB,?,?,?,?,解,(,),0.12,(,),0.67,(,),0.18,P,AB,P,A,B,P,B,?,?,?,(,),0.12,(,),0.60.,(,),0.2,P,AB,P,B,A,P,A,?,?,?,例,1.4.4,有一张电影票，,7,个人抓阄决定谁得到它，问第,i,个人,抓到票的概率是多少？（,i,=1,，,2,，,，,7,）,解：,设,=,“,第,i,个人抓到票”，（,i,=1,，,2,，,，,7,）,i,A,?,?,?,?,7,6,7,1,1,1,?,?,A,P,A,P,显然,如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。,这就是说,，所以,1,2,A,A,?,1,2,2,A,A,A,?,于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有,抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的,6,个阄中,抓到电影票，所以,?,?,6,1,1,2,?,A,A,P,?,?,?,?,?,?,?,?,7,1,6,1,7,6,1,2,1,1,2,2,?,?,?,?,?,A,A,P,A,P,A,A,P,A,P,类似可得,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7,1,5,1,6,5,7,6,2,1,3,1,2,1,3,2,1,3,?,?,?,?,?,?,A,A,A,P,A,A,P,A,P,A,A,A,P,A,P,?,?,7,1,7,?,A,P,例,1.4.5,设在一盒子中装有,10,只球，,4,只黑球，,6,只,白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽,样，问两次都拿到白球的概率是多少？,解法一：,用古典概型来做,设,A,=,“,两次都拿到白球”，,?,?,3,1,2,10,2,6,?,?,C,C,A,P,解法二：,用乘法公式来做，,设,B,=,“,第一次拿到白球”，,A,=,“,第二次拿到白球”，,AB,=,“,两次都拿到白球”，,?,?,?,?,9,5,10,6,?,?,B,A,P,B,P,?,?,?,?,?,?,3,1,9,5,10,6,?,?,?,.,B,A,P,B,P,AB,P,三、,全概率公式,例,1.4.6,有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有,6,只白,球，,4,只红球，乙袋中有,3,只白球,6,只红球，现在先从每袋中各任,取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。,例,1.4.7,某车间有,100,台相同型号的冰箱待检验，,其中,60,台是甲流水线生产的，,25,台是乙流水线生产的，,15,台是,丙流水线生产的。,已知这三条流水线的冰箱质量不同，,它们,的不合格率依次为,0.1,0.4,0.2,一位检验员从这批冰箱中随,机地取了,1,台,问：试求取到不合格冰箱的概率；,解,(,1),设,事,件,A,表,示,“,取,到,的,冰,箱,不,合,格,”,；,事,件,1,2,3,B,B,B,分别表示,“检验员取到的冰箱是甲、,乙、,丙流水线,生产的”,且有,(,),P,A,1,2,3,(,),P,AB,AB,AB,?,1,2,3,(,),(,),(,),P,AB,P,AB,P,AB,?,?,?,1,1,2,2,3,3,(,),(,),(,),(,),(,),(,),P,A,B,P,B,P,A,B,P,B,P,A,B,P,B,?,?,?,3,1,(,),(,),i,i,i,P,A,B,P,B,?,?,?,0.1,0.6,0.25,0.4,0.15,0.2,0.19.,?,?,?,?,?,?,?,1,(,),0.6,P,B,?,1,(,),0.1,P,A,B,?,2,(,),0.25,P,B,?,3,(,),0.15.,P,B,?,2,(,),0.4,P,A,B,?,3,(,),0.2,P,A,B,?,在较复杂情况下直接计算,P,(,A,),不易,但,A,总是伴随着某个,A,i,出现，,例如,A,是由原因,A,i,所引起，则,A,发生的概率是,P,(,A Bi,)=,P,(,Bi,),P,(,A,|,Bi,),每一原因都可能导致,A,发生，故,A,发生的概率是各原因引起,A,发生,概率的总和,.“,全”部概率,P(,A,),被分解成了许多部分之和,.,由以上两例看出，当求某一事件,A,的概率比较困难，而求,条件概率比较容易时，可先设法将这个事件,A,分成几个互不相,容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。,定理：,设,为一列互不相容的事件，且,1,2,n,B,B,B,1,n,i,i,B,?,?,?,则对任一事件,A,，有,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,2,2,n,n,P,A,P,B,P,A,B,P,B,P,A,B,P,B,P,A,B,?,?,?,?,?,?,?,?,1,n,i,i,i,P,B,P,A,B,?,?,?,证明见书。,上述公式称为,全概率公式,。,A,B,1,B,2,B,3,B,n,.,?,全概率公式的来由,不难由上式看出,:,“全”部概率,P,(,A,),被分解成了许多部分之,和,.,例,1.4.8,某车间有,100,台相同型号的冰箱待检验，,其中,60,台是甲流水线生产的，,25,台是乙流水线生产的，,15,台是,丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们,的不合格率依次为,0.1,0.4,0.2,一位检验员从这批冰箱中随,机地取了,1,台,问：检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这,台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水,线生产的概率各为多少？,(2),按题意，要求的概率分别是,1,2,3,(,),(,),(,),P,B,A,P,B,A,P,B,A,1,(,),P,B,A,1,(,),(,),P,B,A,P,A,?,1,1,(,),(,),(,),P,A,B,P,B,P,A,?,0.6,0.1,0.1,0.6,0.25,0.4,0.15,0.2,0.316.,?,?,?,?,?,?,?,?,同理可得,2,0.25,0.4,(,),0.526,0.1,0.6,0.25,0.4,0.15,0.2,P,B,A,?,?,?,?,?,?,?,?,，,3,0.15,0.2,(,),0.158.,0.1,0.6,0.25,0.4,0.15,0.2,P,B,A,?,?,?,?,?,?,?,?,当有了新的信息（知道,A,发生），人们对诸事件发生可能性大小,P(Bi|A),作新的估计,.,3,1,(,),(,),(,i,i,i,P,A,P,B,P,A,B,?,?,?,3,(,),(,),(,|,),(,),(,),i,i,i,j,j,P,B,P,A,B,P,B,A,P,B,P,A,B,?,?,i=,1,2,3,1,1,1,1,2,2,3,3,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),P,A,B,P,B,P,A,B,P,B,P,A,B,P,B,P,A,B,P,B,?,?,?,定理：,设,为一列互不相容的事件，且有，对任意,的事件,B,，则有,1,2,n,B,B,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,2,i,i,i,n,i,i,i,P,B,P,A,B,P,B,A,i,n,P,B,P,A,B,?,?,?,?,这个公式称为,贝叶斯公式（逆概公式）,。,四、,贝叶斯公式,（逆概公式）,在贝叶斯公式中，,P,(,B,i,),和,P,(,B,i,|,A,),分别称为原因的验,前概率和验后概率,.,P,(,B,i,)(,i,=1,2,n,),是在没有进一步信息（不知道事件,A,是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的,认识,.,当有了新的信息（知道,A,发生），人们对诸事件发,生可能性大小,P,(,B,i,|,A,),有了新的估计,.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。,练：,1.,盒中有,12,只乒乓球，其中,9,只是没有用过的新球，第一,次比赛时任取,3,只使用，用毕返回，第二次比赛时任取,3,只球。,（,1,）求第二次取出的全是新球的概率,（,2,）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都,是新球的概率。,解：,设,=,“,第一次取出的