单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 功和能,本章重点：3.1；3.2；3.3；3.4,本章作业：,第3章 功和能本章重点：3.1；3.2；3.3；3.4,1,3.1,功 保守力,力对空间的积累,？,3.1.1、功（,work,）,由 所作的功,1、,外力对质点的功,元功,：,直角坐标下：,3.1 功 保守力力对空间的积累？3.1.1、功,2,2、多个力作用时的功（对质点）,合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的,代数和。,（1）,功是,标量,（可正、可负、可为零）,（2）,功与路径有关，是过程的函数（,过程量,）,（3）,功是力对空间的积累,（4）,功的单位为焦耳,（J）,说明,2、多个力作用时的功（对质点）合力对质点所作的功，等于每个分,3,1,弹簧弹力的功。,解,当物体处于,x,处时所受的弹力为：,物体由,x,a,移动到,x,b,处时弹性力所作的功为：,由此可见,：弹簧伸长时，弹力作负功；,弹簧收缩时，弹力作正功。,弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。,3.1.2、几种常见力的功,1 弹簧弹力的功。解 当物体处于 x 处时所受,4,2,重力的功,作用于质点上的重力,位移元,在由P,1,到P,2,的过程中重力做功为:,重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。,2 重力的功 作用于质点上的重力 位移元 在由P1到P2的过,5,3,万有引力的功。,m,1,在,m,2,的引力场沿其椭圆轨道,由,r,a,移到,r,b,。,求引力对,m,1,所作的功。,解：,讨论 万有引力的功A的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。,在不同的位置，其功的正负和数值不同，在,c,d,点A=0,在,f,点附近作正功，在,e,点附近作负功。,轨道为圆形时，A=0.,3 万有引力的功。m1 在m2的引力场沿其椭圆轨道由r,6,4,摩擦力的功,质量为m的质点，在固定的粗糙水平,面上由初始位置P,1,沿某一路径L,1,运动到,末位置P,2,，路径长度为s，如图所示。,由于摩擦力的方向总是与速度的,方向相反。所以元功,质点由P,1,点沿L,1,运动到P,2,点的过程中，摩擦力所做的功为:,摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。,4 摩擦力的功 质量为m的质点，在固定的粗糙水平质点由P1点,7,3.1.3、保守力与非保守力,特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关,1、,保守力,：,作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关,的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等,3.1.3、保守力与非保守力特点：功只与初、末位置有关，而与,8,保守力的环流等于零。,3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的,功不为零。这种力为,非保守力,。,如摩擦力、冲力、火箭的推动力等,2、,保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。,证明：,保守力的环流等于零。3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力,9,平均功率：,瞬时功率：,3.1.4、功率(,power,),表示,作功快慢,的物理量,定义：,功随时间的变化率,.,SI,单位:焦耳/秒(瓦特),平均功率：瞬时功率：3.1.4、功率(power)表示作功,10,3.2 势 能,3.2.1,、势能,从3.1中得到，有关重力、万有引力、弹性力做功的公式分别为,与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关,。,保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能：,积分路径是任意的。,质点从,a,点移到零势能点 的过程中，保守力作的功。,3.2 势 能3.2.1、势能从3.1中得到，,11,重力势能为,万有引力势能为,弹性势能为,只有保守力场才能引入势能的概念。,势能是属于整个系统的。,势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，,各点的势能才具有唯一的确定值。,说明,重力势能为 万有引力势能为 弹性势能为 只有保守力场才能,12,质点在保守力场中任意两点（如点,a,和点,b,）的势能差等于把质点,从,a,点经过任意路径移到,b,点的过程中保守力F所做的功。即,得重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为,可统一写成,质点在保守力场中任意两点（如点a和点b）的势能差等于把质点得,13,3.2.2、保守力与势能梯度,在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点,势能梯度矢量的负值。,哈密顿算符,3.2.2、保守力与势能梯度 在保守力场中，质,14,3.3.1、质点的动能定理,末态的状态量,初态的状态量,导致状态量,变化,1.质点的动 能,标量 由于运动而具有的能量 状态量,3.3 动能定理,3.3.1、质点的动能定理末态的状态量初态的状态量导致状态量,15,2.质点的,动能定理,合外力对质点做的功等于该质点动能的增量。质点的动能定理,功是动能变化的量度,外力作正功，质点动能增加,外力作负功，质点动能减少,A,为过程量，与过程有关，而,E,k,为状态量,A,与,v,应对应同一惯性系,说明,3.用动量表示动能,m,p,E,K,2,2,=,动能定理的微分形式,动能定理的积分形式,2.质点的动能定理合外力对质点做的功等于该质点动能的增量,16,例题3.1,质量为,m,、线长为,l,的单摆，可绕,o点,在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被,拉至水平，然后自由放下，求摆线与水,平线成 角时，摆球的速率和线中的张力。,解,摆球受摆线拉力T和重力,mg,合力作的功为,由动能定理,牛顿第二定律的法向分量式为:,例题3.1 质量为m、线长为l的单摆，可绕平线成 角时,17,证明：由,牛顿第二定律,：,又由于,故有：,即：,亦即：,补充例题,在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为,m,的滑块以速度,v,0,沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为,，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为：,证明：由牛顿第二定律：又由于故有：即：亦即：补充例题,18,作定积分，得：,即：,故：,由质点的,动能定理,得：,作定积分，得：即：故：由质点的动能定理得：,19,质点系所有内力之和为零,1、质点系 内力和外力：,外力：,质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。,内力：,质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。,注意:质点系中任意一个质点，例如第,i,个质点受的系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零,。,质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系受的合外力，即,3.3.2、质点系的动能定理：,含两个或两个以上的,质点,的力学系统。,质点系所有内力之和为零1、质点系 内力和外力：外力：质点,20,对,m,1,:,对,m,2,:,对各质点应用动能定理：,两式相加，得：,即,2、质点系的动能定理：,对m1:对m2:对各质点应用动能定理：两式相加，得：即2、质,21,3.4.2、机械能守恒定律,只有,每一微小过程中,外力作的功和非保守内力作的功之和为零时，则此过程中的机械能守恒。,语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的总功,始终,为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒量。,上式是不是机械能守恒定律的条件和表示式？,问：,3.4.3、能量守恒定律：,各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。,3.4.2、机械能守恒定律只有每一微小过程中外力作的功和非保,22,例题3.3,如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，,其一端系在铅直放置的圆环的顶点,P,，另一端,系一质量为,m,的小球，小球穿过圆环并在圆环,上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球,静止于A点，弹簧处于自然状态，其长度为圆,环的半径,R,。当小球运动到圆环的底端B点时，,小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。,解,取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和P点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从A运动到B的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性势能为零；取B点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得,B点时由牛顿第二定律得方程,例题3.3 如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，B点时由牛顿,23,例题3-4,要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的,速度最小值为多大？,解,：由机械能守恒定律得到,例题3-4要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的解,24,例题3.5,目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上面发射出来，这种天体被称为黑洞（,black hole,)。若由于某种原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？,解,由机械能守恒定律,当,时,m,要从,M,上逃逸，有：,逃逸速度为,v,与,m,无关，与,R,M,有关.,光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞,若一个质量,M,的天体，只要半径,R,缩小到某一临界值,此天体就称为黑洞。对太阳,M,=1.9910,30,kg,R,=6.9610,8,m,成为黑洞。,例题3.5 目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征,25,小 结,1.元功：,总功：,2.保守力 做功只与始末位置有关，而与路径无关的力。,非保守力：做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关的力。,3.势能,势能差,4.质点的动能定理,小 结1.元功：2.保守力 做功只与始末位置有关，而与路,26,5.质点系的动能定理,6.质点系的功能原理,7.机械能守恒定律,5.质点系的动能定理 6.质点系的功能原理 7.机械能守恒定,27,