单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1.5,平面直角坐标系中,的距离公式,一,.,两点间的距离公式,1.5 平面直角坐标系中的距离公式,1,问题提出,1.,在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系,.,2.,平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？,复习：,如何判定两条直线平行？垂直？,问题提出 1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可,2,两点间的距离,两点间的距离,3,知识探究（一）：两点间的距离公式,思考,1:,在,x,轴上，已知点,P,1,(x,1,，,0),和,P,2,(x,2,，,0),，那么点,P,1,和,P,2,的距离为多少？,思考,2:,在,y,轴上，已知点,P,1,(0,，,y,1,),和,P,2,(0,，,y,2,),，那么点,P,1,和,P,2,的距离为多少？,|P,1,P,2,|=|x,1,-x,2,|,|P,1,P,2,|=|y,1,-y,2,|,知识探究（一）：两点间的距离公式思考1:在x轴上，已知点P1,4,思考,3:,已知,x,轴上一点,P,1,(x,0,，,0),和,y,轴上一点,P,2,(0,，,y,0,),，那么点,P,1,和,P,2,的距离为多少？,x,y,o,P,1,P,2,思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，,5,思考,4:,在平面直角坐标系中，已知点,P,1,(2,，,-1),和,P,2,(-3,，,2),，如何计算点,P,1,和,P,2,的距离？,M,x,y,o,P,1,P,2,思考4:在平面直角坐标系中，已知点P1(2，-1)和P2(-,6,思考,5:,一般地，已知平面上两点,P,1,(x,1,，,y,1,),和,P,2,(x,2,，,y,2,),，利用上述方法求点,P,1,和,P,2,的距离可得什么结论？,x,y,o,P,1,P,2,M,思考5:一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2,7,思考,6:,当直线,P,1,P,2,与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？,思考,7:,特别地，点,P(x,，,y),与坐标原点的距离是什么？,x,y,o,P,1,P,2,P,1,P,2,思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思,8,知识探究（二）：距离公式的变式探究,思考,1:,已知平面上两点,P,1,(x,1,，,y,1,),和,P,2,(x,2,，,y,2,),，直线,P,1,P,2,的斜率为,k,，则,y,2,-y,1,可怎样表示？从而点,P,1,和,P,2,的距离公式可作怎样的变形？,知识探究（二）：距离公式的变式探究思考1:已知平面上两点P1,9,思考,2:,已知平面上两点,P,1,(x,1,，,y,1,),和,P,2,(x,2,，,y,2,),，直线,P,1,P,2,的斜率为,k,，则,x,2,-x,1,可怎样表示？从而点,P,1,和,P,2,的距离公式又可作怎样的变形？,思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2),10,思考,3:,上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？,思考,4:,若已知 和 ，如何求？,思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分,11,理论迁移,例,1,已知点 和,在,x,轴上求一点,P,，使,|PA|=|PB|,，并求,|PA|,的值,.,例,3,设直线,2x-y+1=0,与抛物线 相交于,A,、,B,两点，求,|AB|,的值,.,例,2,：已知,ABC,的三个顶点是,A(-1,，,0),B(1,，,0),C(1/2,，,3/2),试判断三角形的形状,理论迁移 例1 已知点 和,12,例,4,：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和,.,x,y,A(0,0),B(a,0),C(a+b,c),D(b,c),例4：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角,13,点,p(x,y),关于点,Q(x,0,y,0,),的对称点为,(2x,0,-x,2y,0,-y),点p(x,y)关于点Q(x0,y0)的对称点为(2x0-,14,用,“,坐标法,”,（解析法）解决有关几何问题的基本步骤：,第一步；建立坐标系，,用坐标系表示有关的量,第二步：进行,有关代数运算,第三步：把代数运算结果,“,翻译”成几何关系,用“坐标法”（解析法）解决有关几何问题的基本步骤,15,二,.,点 到 直 线 的 距 离,二.点 到 直 线 的 距 离,16,点到直线的距离,x,y,O,l,P,（,x,0,y,0,),Q,点到直线的距离的定义,点到直线的距离公式的推导过程,过点 作直线 的垂线，垂足为 点，线段 的长度叫做点 到直线 的距离,点到直线的距离xyOlP（x0,y0)Q点到直线的距,17,已知点,P,（,x,0,y,0,）和直线,l,Ax+By+C=0,(,假设,A,、,B,0),求点,P,到直线,l,的距离,.,x,y,O,l,P,（,x,0,y,0,),Q,创设情境,返回,已知点P（x0,y0）和直线l xyOlP（x0,y,18,反思：这种解法的,优缺点是什么？,x,y,O,l,P,（,x,0,y,0,),Q,思考：最容易想到的方法是什么？,思路,.,依据定义求距离,其流程为：,求,l,的垂线,l,1,的方程,解方程组，得交点,Q,的坐标,求,P Q,尝试合作交流,反思：这种解法的xyOlP（x0,y0)Q思考：最容易想,19,思路,利用直角三角形的面积,公式的算法,还有其它方法吗？,思路还有其它方法吗？,20,过 程 设 计：,过点 作 轴、轴的垂线 交于点,求出,利用勾股定理求出,根据面积相等知 得到点 到 的距离,用 表示点 的坐标,方法,利用直角三角形面积公式的算法框图,过 程 设 计：过点 作 轴、轴的垂线,21,思路,：,P(,x,0,y,0,),l,:,Ax,+,By,+,C,=0,设,AB,0,O,y,x,l,d,Q,P,R,S,思路：P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,设A,22,O,y,x,l,d,Q,P,R,S,由三角形面积公式可得：,OyxldQPRS由三角形面积公式可得：,23,反思,2,：,反思,1,：,在使用该公式前，须将直线方程化为一般式,辨析反思,返回,前面我们是在,A,B,均不为零的假设下推导出公式的，若,A,B,中有一个为零，公式是否仍然成立？,反思2：反思1：在使用该公式前，须将直线方程化为一般式辨析,24,点到直线距离公式,点 到直线,（）的距离为,注：,A=0,或,B=0,，此公式也成立，但当,A=0,或,B=0,时一般不用此公式计算距离,点到直线距离公式 点 到,25,例,1:,求点,P(-1,2),到直线2,x+y,-10=0,；,3,x=,2,的距离。,解：,根据点到直线的距离公式，得,如图，直线3,x=,2,平行于,y,轴，,O,y,x,l,:3,x=,2,P,(-1,2),用公式验证，结果怎样？,例1:求点P(-1,2)到直线2x+y-10=0；,26,例,2,：求平行线,2,x,-7y+8=0,与,2,x,-7y-6=0,的距离。,O,y,x,l,2,:2,x,-7y-6=0,l,1,:2,x,-7y+8=0,P,(3,0),两平行线间的距离处处相等,在,l,2,上任取一点，例如,P(3,0),P,到,l,1,的距离等于,l,1,与,l,2,的距离,直线到直线的距离转化为点到直线的距离,例2：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距,27,任意两条平行直线都可以写成如下形式：,l,1,:,Ax+By+,C,1,=,0,l,2,:,Ax+By+,C,2,=,0,O,y,x,l,2,l,1,P,Q,注：,用两平行线间距离公式须将方程中,x,、,y,的系数化为相同,对应相同的形式。,（,两平行线间,的距离公式,）,任意两条平行直线都可以写成如下形式：l1:Ax+By+C1,28,反馈练习：,（）,（）,D,B,反馈练习：（）（）DB,29,（）,（）,D,A,（）（）DA,30,P,在,x,轴上，,P,到直线,l,1,:,x,-,y,+7=0,与直线,l,2,:12,x,-5,y+,40=0,的距离相等，求,P,点坐标。,解：设,P,(,x,0),根据,P,到,l,1,、,l,2,距离相等，列式为,解得：,所以,P,点坐标为：,5.,完成下列解题过程：,=,P在x轴上，P到直线l1:x -y+7=0,31,用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。,证明,:,建立如图直角坐标系,设,P,(,x,0),x,(),O,A,(,a,0),C,(-,a,0),B,(0,b,),x,y,E,F,P,可求得,l,AB,:,(),l,CB,:,(),|,PE,|=,(),|,PF,|=,(),A,到,BC,的距离,h,=,(),因为,|,PE,|+|,PF,|=,h,，所以原命题得证。,用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一,32,尝试回忆,1.,点 到 直 线 的 距 离,:,2.,两平行线间的距离公式,:,要记牢哦！很重要的！,3,两点间的距离：,尝试回忆1.点 到 直 线 的 距 离:2.两平行线间的距离,33,