,*,3.2.1,几类不同增长的函数模型,不同函数增长的差异,不同函数增长的差异,有人说，一张普通的报纸对折,30,次后，厚度会超过,10,座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？,有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛,“,陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有格的麦粒，都赏给您的仆人吧！,”,“,爱卿，你所求的并不多啊,！,”,“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二,例,1,假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一,：每天回报,40,元；,方案二,：第一天回报,10,元，以后每天比前一天多回报,10,元；,方案三,：第一天回报,0.4,元，以后每天的回报比前一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,投资方案选择原则：,投入资金相同，回报量多者为优,.,(1),比较三种方案每天回报量；,(2),比较三种方案一段时间内的累计回报量,.,我们来看两个具体问题：,例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：,设第,x,天所得回报为,y,元，则,方案二：第一天回报,10,元，以后每天比前一天多回报,10,元。函数关系为,y,=10,x,(,x,N,*),；,方案三：第一天回报,0.4,元，以后每天的回报比前一天,翻一番。函数关系为,y,=0.42,x,-1,(,x,N,*),。,分析：,方案一：每天回报,40,元。函数关系为,y,=40 (,x,N,*),；,我们可以先建立三种投资方案所对应的函,x,/,天,方案一,方案二,方案三,y,/,元,增长量,/,元,y,/,元,增长量,/,元,y,/,元,增长量,/,元,1,40,10,0.4,2,40,20,0.8,3,40,30,1.6,4,40,40,3.2,5,40,50,6.4,6,40,60,12.8,7,40,70,25.6,8,40,80,51.2,9,40,90,102.4,30,40,300,214748364.8,我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,10,10,10,10,10,10,10,10,10,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8,25.6,51.2,107374182.4,x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/,我们看到，底数为,2,的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多,.,从中你对,“,指数爆炸,”,的含义有什么新的理解？,三个函数的图象,我们看到，底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得,投资,1,6,天，应选择方案一；投资,7,天，应选择方案一或方案二,；,投资,8,10,天，应选择方案二；,投资,11,天,(,含,11,天,),以上，应选择方案三。,累计回报表,天数,方案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,一,40,80,120,160,200,240,280,320,360,400,440,二,10,30,60,100,150,210,280,360,450,550,660,三,0.4,1.2,2.8,6,12.4,25.2,50.8,102,204.4,409.2,816.8,除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值,.,你能把前,11,天回报的累积值算出来吗,?,根据以上分析,你认为该作出何种选择,?,结论,投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；,由例,1,得到,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,解决,由例1得到 解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数,某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y,(,单位：万元,),随着销售利润,x,(,单位：万元,),的增加而增加，但资金数不超过,5,万元，同时奖金不超过利润的,25%,。现有三个奖励模型：,y,=,0.25,x,，,y,=,log,7,x,+1,，,y,=,1.002,x,，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,本题中涉及了哪几类函数模型,?,实质是什么,?,本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。,思考,例,2,某公司为了实现1000万元利润的目标，准备,思考,怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢,?,要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出,5,万元,以及奖励比例是否超过,25%,进行分析,才能做出正确选择。,由于公司总的利润目标为,1000,万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在区间,10,1000,上，检验三个模型是否符合公司的要求即可。,思考 怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢?,借助计算机作出三个函数的图象,借助计算机作出三个函数的图象,三个函数的图象如下,可以看到：在区间,10,1000,上只有模型,y,=log,7,x,+1,的图象始终在,y,=5,的下方,三个函数的图象如下可以看到：在区间10,1000上只有模,对于模型,y,=,0.25,x,，它在区间,10,1000,上递增，当,x,=,20,时，,y,=,5,，因此,x,(20,1000),时，,y,5,，因此该模型不符合要求。,对于模型,y,=1.002,x,，由函数图象，并利用计算器，可知在区间,(805,806),内有一个点,x,0,满足,1.002,x,0,=5,，由于它在,10,1000,上递增，因此当,x,x,0,时，,y,5,，因此该模型也不符合要求。,通过计算确认上述判断,对于模型y=0.25x，它在区间10,1000上,(1),由函数图象可以看出，它在区间,10,1000,上递增，而且当,x,=,1000,时，,y,=,log,7,1000,+,1,4.55,5,所以它符合奖金不超过,5,万元的要求。,对于模型,y,=log,7,x,+,1,(2),再计算按模型,y,=,log,7,x,+,1,奖励时，奖金是否不超过利润的,25%,，即当,x,10,1000,时，是否有,成立。,(1)由函数图象可以看出，它在区间10,1000上递增,令,f,(,x,),=,log,7,x,+,1-0.25,x,，,x,10,1000.,利用计算机作出函数,f,(,x,),的图象，由图象可知它是递减的，因此,f,(,x,),f,(10),-0.3167,0,即,log,7,x,+1,1,),和幂函数,y,=,x,n,(,n,0),，通过探索可以发现：,在区间,(0,+),上，无论,n,比,a,大多少，尽管在,x,的一定范围内，,a,x,会小,x,n,，但由于,a,x,的增长快于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,x,x,0,时，就会有,a,x,x,n,.,结论1：一般地，对于指数函数y=ax(a,结论,2,：,一般地，对于指数函数,y,=log,a,x,(,a,1),和幂函数,y,=,x,n,(,n,0),，通过探索可以发现：,在区间,(0,+),上，随着,x,的增大，,log,a,x,增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与,x,轴平行一样。尽管在,x,的一定范围内，,log,a,x,可能会大于,x,n,，但由于,log,a,x,的增长慢于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,x,x,0,时，就会有,log,a,x,1),，,y,=log,a,x,(,a,1),和,y,=,x,n,(,n,0),都是增函数。,(2),随着,x,的增大，,y,=,a,x,(,a,1),的增长速度越来越快，会远远大于,y,=,x,n,(,n,0),的增长速度。,(3),随着,x,的增大，,y,=log,a,x,(,a,1),的增长速度越来越慢，会远远小于,y,=,x,n,(,n,0),的增长速度。,总存在一个,x,0,，当,x,x,0,时，就有,:,log,a,x,kx,x,n,1),函数性质,y=a,x,(a,1),y=log,a,x,(a,1),y=x,n,(n,1),在（,0,，,+,）上的增减性,增函数,增函数,增函数,增长的速度,越来越快,越来越慢,相对平衡,图象的变化,随,x,的增大与,y,轴靠近,随,x,的增大与,x,轴平行,随,n,值而不同,种函数模型的性质：,1,、指数函数是,爆炸式,增长,2,、幂函数的增长速度是随,底数的增大,而向,y,轴靠近,3,、对数函数增长速度,相对慢一些,函数性质y=ax y=logaxy=xn在（0，+）上的增,你能用同样的方法讨论函数：,在区间 上的衰减情况吗？,你能用同样的方法讨论函数：,实际,问题,读懂,问题,将问题,抽象化,数学,模型,解决,问题,基础,过程,关键,目的,几种常见函数的增长情况：,常数函数,一次函数,指数函数,没有增长,直线上升,指数爆炸,小结,实际读懂将问题数学解决基础过程关键目的几种常见函数的增长情况,1.,当,x,越来越大时，增长速度最快的是,(),D,1.当x越来越大时，增长速度最快的是()D,2.,一次实验中，,x,y,函数关系与下列哪类函数最接近,(),x,1,2,3,4,5,6,y,0.25,0.49,0.76,1,1.26,1.51,A,2.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近(,3.,一次实验中，,x,y,函数关系与下列哪类函数最接近,(),t,1.99,3.0,4.0,5.1,6.12,u,1.5,4.04,7.5,12,18.01,C,3.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近(,4.,函数 与 交点个数,(),5.,时有,(),D,A,4.函数 与 交点,6.,D,6.D,1.,几种常见函数的增长情况：,常数函数,一次函数,指数函数,对数函数,没有增长,直线上升,指数爆炸,“,慢速”增长,2.,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,演算,推理,小结：,1.几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数对数函数,