垂直于弦的直径,垂直于弦的直径,如图，是1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥,赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的,跨度,（弧所对的弦长）是,37 m,，,拱高,（弧的中点到弦的距离）为,7.23 m,你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？,如图，是1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥赵州桥,探究,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么,归纳,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：,圆是轴对称图形，,任何一条,直径所在直线,都是它的,对称轴,归纳把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么,探究,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2）线段：AE=BE,弧：,原因：由圆的对称性可知，将圆沿着CD 折叠时，A会与B重合，所以相应的线段和弧相等,探究如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足,归纳,垂径定理,垂直,于弦的直径平分弦，并且,平分,弦所对的两条弧,垂径定理的推理,平分,弦（不是直径）的直径,垂直,于弦，并且,平分,弦所对的两条弧,归纳垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂,书写规范,运用垂径定理时，如何书写过程呢？,CD是直径，CDAB,AE=BE，,类似的，若要运用垂径定理的推论，你会写过程了吗？,CD是直径，AE=BE,CDAB，,书写规范运用垂径定理时，如何书写过程呢？CD是直径，CD,几何语言表达,垂径定理,CD是直径,CDAB,AE=BE,垂径定理的推理,CD是直径,AE=BE,CDAB,几何语言表达垂径定理CD是直径CDABAE=BE垂径,知二推三,CD是直径,CDAB,AE=BE,其实垂径定理可以进一步地推广，,以上五个条件中，只要其中,任意两个成立,，就可以,得到另外三个,结论,这就是所谓的“,知二,推三,”,知二推三CD是直径CDABAE=BE其实垂径定理可以,应用条件,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,否,是,否,应用条件下列图形是否具备垂径定理的条件？是否是否,概念辨析,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,平分弦的直线有无数条,如果弦是直径会怎样？,概念辨析判断下列说法的正误平分弧的直径必平分弧所对的弦平,概念辨析,判断下列说法的正误,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,垂直平分线是直线直径是线段，能相等吗？,如果弦是直径会怎样？,概念辨析判断下列说法的正误弦的垂直平分线是圆的直径平分弦,例题,如图，在O中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC 于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,例题如图，在O中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，O,练习,如图，AB是O 的直径，CD 为弦，CDAB于E，则下列结论中,不成立,的是（）,ACOE=DOE,BCE=DE,COE=AE,D.,C,练习如图，AB是O 的直径，CD 为弦，CDAB于E，则,练习,如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，求证：AC=BD,提示：作OEAB,E,练习如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，求证：AC=B,练习,已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D 两点求证：ACBD,提示：作OEAB,E,练习已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB,练习,已知：O 中弦ABCD求证：,提示：作直径MNAB,M,N,练习已知：O 中弦ABCD求证：提示：作直径MNAB,例题,如图，在O 中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,解：作OEAB于点E，连接AO，,在Rt AOE 中,答：O的半径为5cm.,总结：,已知,半径，弦长，圆心到弦的距离,这三个中的任意两个，可以求第三个,例题如图，在O 中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离,赵州桥拱半径问题,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,在图中，AB=37.4，CD=7.2，,OD=OCCD=R7.2,R-7.2,18.7,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得：R27.9（m）,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,赵州桥拱半径问题如图，用 表示主桥拱，设,归纳,对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：,（1）d+h=r,特别的，若,已知h和a,，则需要设未知数，,列方程,求解,归纳对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高,什么是垂径定理？,如何利用垂径定理计算？,垂径定理,什么是垂径定理？如何利用垂径定理计算？垂径定理,已知弦长和弦弧距怎么求半径？,已知弦长和弦弧距求半径,已知弦长和弦弧距怎么求半径？已知弦长和弦弧距求半径,练习,如图，OEAB于E，若O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=_cm,16,练习如图，OEAB于E，若O的半径为10cm，OE=6c,练习,如图，在圆O 中，半径r=13，弦AB=24，则圆心O 到AB的距离为_,5,练习如图，在圆O 中，半径r=13，弦AB=24，则圆心O,练习,如图，在圆O中，直径AB弦 CD 于点 M，AM=18，BM=8，则 CD 的长为 _,24,练习如图，在圆O中，直径AB弦 CD 于点 M，AM=18,练习,如图，圆O 的半径为 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的最小值是 _,3,练习如图，圆O 的半径为 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上,练习,如图，CD是O 的直径，弦ABCD 于E，CE=1，AB=10，求直径CD 的长,答案：CD=26,练习如图，CD是O 的直径，弦ABCD 于E，CE=1，,练习,一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为 1 m，水面宽 AB 为 1.6 m由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.2 m，求水面下降的高度,答案：0.2米,练习一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为 1 m,练习,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为7.2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,答案：半径是3.9m，MN3，能通过.,练习某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为7.2 m,练习,1如图，在O 中，弦AB 的长为8cm，圆心O 到AB 的距离为3cm，求O 的半径,练习1如图，在O 中，弦AB 的长为8cm，圆心O 到A,练习,2如图，在O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB 于D，OEAC 于E，求证四边形ADOE 是正方形,练习2如图，在O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条,构造垂径求长度,如图，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，以点 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为_,提示：过点C 作BD 的垂径,总结：要求弦长，就要想到作垂径，利用垂径定理,构造垂径求长度如图，在ABC中，已知ACB=130，,什么情况下需要构造垂径？,怎么构造垂径进行计算？,构造垂径的技巧,什么情况下需要构造垂径？怎么构造垂径进行计算？构造垂径的技巧,平行弦间的距离,已知圆O 的半径是 10 cm，弦ABCD，AB=12cm，CD=16cm，则 AB 与 CD 的距离是_,总结：看到,没图,的问题，就要考虑到,多解,的可能,14cm或2cm,平行弦间的距离已知圆O 的半径是 10 cm，弦ABCD，,怎么求平行弦之间的距离？,如果题目没给图，应该想到什么？,与垂径定理有关的多解问题,怎么求平行弦之间的距离？如果题目没给图，应该想到什么？与垂径,总结,这节课我们学会了什么？,垂径定理,CD是直径,CDAB,AE=BE,垂径定理的推理,CD是直径,AE=BE,CDAB,总结这节课我们学会了什么？垂径定理CD是直径CDAB,总结,利用垂径定理计算的技巧,对于一个圆中的,弦长a,、圆心到弦的,距离d,、圆,半径r,、弓形,高h,，这四个量中，只要,已知其中任意两个量,，就可以求出另外两个量，如图有：,（1）d+h=r,特别的，若,已知h和a,，则需要设未知数，,列方程,求解.,总结利用垂径定理计算的技巧对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距,