返回,后页,前页,3,高斯公式与斯托克斯公式,返回,3 高斯公式与斯托克斯公式 返回,一、高斯公式,二、斯托克斯公式,3,高斯公式与斯托克斯公式,一、高斯公式 二、斯托克斯公式 3 高斯公式与斯托克,一、高斯公式,定理,22.3,设空间区域,由分片光滑的双侧封闭曲,面,S,围成,.,若函数,P,Q,R,在,上连续,且有一阶连,续偏导数,则,其中,S,取外侧.,(1),式称为,高斯公式,.,一、高斯公式 定理22.3 设空间区域 由分片光滑的双侧封,证,下面只证,读者可类似,这些结果相加便得到高斯公式,(1).,先设,V,是一个,xy,型区域,即其边界曲面,S,由曲面,证明其余两式:,证 下面只证 读者可类似 这些结果相加便得到高斯公式(,及垂直于,的柱,面,组成,(,图22-7,),其中,于是按三重积分的计算方,法,有,及垂直于 的柱面 组成(图22-7),其中 于是按三重积,其中,都取上侧.又由于,平面上投影面,其中 都取上侧.又由于 平面上投影面,从而得到,对于不是,xy,型区域的情形,一般可用有限个光滑,积为零,所以,曲面将它分割成若干个,xy,型区域来讨论.,从而得到 对于不是 xy 型区域的情形,一般可用有限,例,1,计算,其中,S,是边长为,a,的正立方体表面并取外侧.,解,应用高斯公式,例1 计算 其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧,注,若在高斯公式中,则有,于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域,V,的体,积的公式:,例2,计算,其中,为曲面,上,的部分,并取,上侧.,注 若在高斯公式中 则有于是得到应用第二型曲面积分计算空间区,解,由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式.,为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面,并取下侧,则,构成一,封,闭曲面.于是,解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式.为了能使用高,而,因此,例3,证明电学中的高斯定理:在由点电荷,所产生的,静电场中,电场强度,向外穿过任何包含,在其内,而因此 例3 证明电学中的高斯定理:在由点电荷 所产生的,部的光滑封闭曲面,的电通量都等于,证,以,为球心作一半径充分小的球面,使,全部,落在,所包含的区域内部,并将坐标原点取在,处.,由,电学知识,在点,处的电场强度为,设,其中,易验证(参见图,22-8,),部的光滑封闭曲面 的电通量都等于 证 以 为球心作一,所以穿过,的电通量为,其中,取外侧,是,包围的半径为,的球体.,在,与,所围的空间区域,上应用高斯公式,其边,界的外测是,的外侧和,的内侧.因为,所以穿过 的电通量为 其中 取外侧,是 包围的半径,所以穿过,的电通量为,所以穿过 的电通量为,二、斯托克斯公式,先对双侧曲面,S,的侧与其边界曲线,L,的方向作如下,规定:设有人站在,S,上指定的一侧,若沿,L,行走,指,定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线,L,的正向;若沿,L,行走,指定的侧总在人的右方,则人,前进的方向为边界线,L,的负向.这个规定也称为右,手法则,如图,22-9,所示.,二、斯托克斯公式 先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L,定理,22.4,设光滑曲面,S,的边界,L,是按段光滑的连,续曲线.若函数,P,Q,R,在,S,(,连同,L,),上连续,且有,一阶连续偏导数,则有,斯托克斯公式,如下:,定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续,其中,S,的侧与,L,的方向按右手法则确定.,证,先证,其中曲面,S,由方程 确定,它的正侧法线方,(3),其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定.证 先证,若,S,在,xy,平面上的投影为区域,平面上,的投,影为曲线,现由第二型曲线积分定义及格林,公式有,向数为,方向余弦为,所以,若 S 在 xy 平面上的投影为区域 平面上 的投影为曲线,所以,因为,所以 因为,由于,从而,由于 从而,将,(3),(4),(5),三式相加,即得公式,(2),.,如果,S,不能以,的形式给出,则可用一,些,光滑曲线把,S,分割为若干小块,使每一小块能用这,综合上述结果,便得到所要证明的,(3),式.,当曲面,S,表示为,时,同样,可,证,将(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2),为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:,例4,计算,其中,种形式来表示.因而这时,(2),式也能成立.,与各坐标面的交线,取图,22-8,所示的方向,.,为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:例4 计算其中种,解,应用斯托克斯公式推得:,解 应用斯托克斯公式推得:,车胎状的环形区域则是非单连通的.,与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关,性也有下面相应的定理.,不经过,V,以外的点而连续收缩于属于,V,的一点.例,如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如,区域,V,称为,单连通,的,如果,V,内任一封闭曲线皆可,注,上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.其意,义是:对于,V,内任一封闭曲线,L,均能以,L,为边界,绷起一个位于,V,中的曲面.,车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿,空间曲线,与路线无关;,(i),对于,内任一按段光滑的封闭曲线,L,有,(ii),对于,内任一按段光滑的封闭曲线,L,曲线积分,定理22.5,设,为空间单连通区域.若函数,P,个条件是等价的:,Q,R,在,上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四,与路线无关;(i)对于 内任一按段光滑的封闭曲,例,5,验证曲线积分,与路线无关,并求被积表达式的原函数,这个定理的证明与定理,21.12,相仿,这里不重复了.,在,内处处成立.,(iii),内某一函数,u,的全微分,即,例5 验证曲线积分与路线无关,并求被积表达式的原函数这个定,取,如图,22-11,从,沿平行于,x,轴的直线到,所以曲线积分与路线无关.现在求原函数:,解,对于,显然有,取 如图 22-11,从 沿平行于 x 轴的直线到 所,再沿平行于,y,轴的直线到,最后沿平行于,z,轴的直线,到,于是,再沿平行于y 轴的直线到最后沿平行于 z 轴的直线 到 于,为原,点,则得 若取 为任意点,则 为一任,意常数.,其中,是一个常数.若取,为原点,则得 若取 为任意点,则 为一任意常,