,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 特殊平行四边形,矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形矩形的性质与判定,1,观察,在小学，我们初步认识了长方形，观察图,2-41,中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？,图,2-41,观察 在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-,2,这些四边形的四个角都是直角,.,在一个平行四边形中，,只要有一个角是直角，那,么其他三个角都是直角.,我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形.,这些四边形的四个角都是直角.,3,有一个角是直角的平行四边形叫做,矩形,，也称为,长方形,.,平行四边形,矩形,有一个角是直角,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长,4,结论,矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分,.,可以知道：,结论 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.,5,结论,矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心,.,由于矩形是平行四边形，因此,结论 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,6,如图,2-42,，四边形,ABCD,为矩形，那么对角,线,AC,与,DB,相等吗？,动脑筋,图,2-42,图,2-42,如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角动脑筋图,7,如图，四边形,ABCD,是矩形，,于是有,AB,=,DC,，,CBA,=,BCD,=90,，,BC,=,CB,.,因此,CBA,BCD,.,(,SAS,),从而,AC,=,BD,.,即矩形的对角线相等,.,图,2-42,如图，四边形ABCD是矩形，于是有 AB=DC，因此,8,结论,矩形的对角线相等,.,由此得到矩形的性质：,结论矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：,9,如图,2-43,，矩形,ABCD,的两条对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,AC=,4,cm,，,AOB=,60.,求,BC,的长,.,举,例,例,1,图,2-43,如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O,10,解,ABCD,是矩形，,从而,AOB,是等边三角形,.,AB,=,OA,=2cm.,又,AOB=,60,，,ABC=,90,，,在,Rt,ABC,中，,图,2-43,解,ABCD,是矩形，,从而,解 ABCD是矩形，从而 AOB是等边三角,11,在纸上画一个矩形,ABCD,(,如图,2-44,),，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？,图,2-44,做一做,在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来,12,如图，矩形,ABCD,的对角线相交于点,O,.,B,C,D,A,O,F,E,过点,O,作直线,EF,BC,，且分别与边,BC,，,AD,相交于点,E,，,F,.,由于 ，因此,OBC,是等腰三角形，从而直线,EF,是线段,BC,的垂直平分线,.,如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.BCDAOFE,13,由于,AD,BC,，因此,EF,AD,.,同理，直线,EF,是,线段,AD,的垂直平分线,.,因此点,B,和点,C,关于直线,EF,对称，点,A,和点,D,关于,直线,EF,对称，从而在关于直线,EF,的轴反射下，矩形,ABCD,的像与它自身重合，因此矩形,ABCD,是轴对称,图形，直线,EF,是矩形,ABCD,的一条对称轴,.,B,C,D,A,O,F,E,由于ADBC，因此EFAD.同理，直线,14,类似地，过点,O,作直线,MN,AB,，且分别与边,AB,，,DC,相交于点,M,，,N,，则点,M,，,N,分别是边,AB,，,DC,的中点，直线,MN,是矩形,ABCD,的一条对称轴,.,B,C,D,A,O,F,E,M,N,类似地，过点O作直线MNAB，且分别与边AB，DC,15,结论,矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴,.,由此得到：,结论 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形,16,已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的,一个夹角为60，求矩形的各边长.,练习,1.,答,：,矩形的各边长分别为1cm和,已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的练习 1.,17,2.如图，四边形,ABCD,为矩形，试利用矩形的性质,说明：直角三角形,ABC,斜边,AC,上的中线,BO,等于,斜边的一半,.,证明,四边形,ABCD,是矩形，,从而,O,A=,O,C,，,OB,=OD .,(,矩形的对角线相等,.),（矩形的对角线互相平分,.,）,又,AC=BD,，,OB,=,O,A=,O,C,2.如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质证明,18,中考 试题,例,如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，若,AOB,=60,，,AB,=4cm，则,AC,的长为,cm.,8,解析,由矩形性质及,AOB,=60,，,可得,ACB,=30,.,在,Rt,ABC,中，,AB,=4,，,AC,=2,AB,=8cm.,中考 试题例 如图，在矩形ABCD中，对角线A,19,如图,2-46,，四边形,ABCD,的四个角都是直角,.,由于,“,同旁内角互补，两直线平行,”,，因此,AB,DC,，,AD,BC,，从而四边形,ABCD,是平行四边形,.,所以,ABCD,是矩形,.,由此得到四个角是直角的,四边形是,矩形,.,图,2-46,如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角.图2-46,20,结论,三个角是直角的四边形是矩形,.,三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也,是直角，由此得到：,结论三个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形,21,四边形中只有两个角,是直角，我想到了下边的图形：,四边形中只有两个角,22,动脑筋,从,“,矩形的对角线相等且互相平分,”,这一性质受到启发，你能画出对角线长度为,4cm,的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？,动脑筋 从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启,23,过点,O,画两条线段,AC,，,BD,，使得,OA=OC,=2cm,，,OB=OD,=2cm.,连接,AB,，,BC,，,CD,，,DA,.,则四边形,ABCD,是矩形，且它的对角线长度为,4 cm,，如图,2-47.,这样的矩形有无穷多个,.,2cm,2cm,图,2-47,你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？,过点O 画两条线段AC，BD，使得OA=O,24,如图,2-47,，,由画法可知，,四边形,ABCD,的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗,？,我们来进行证明,.,在,ABCD,中，由于,AB,=,DC,，,A,C,=,DB,，,BC,=,CB,，,因此,ABC,DCB,.,(,SSS,),从而 ,ABC,=,DCB,.,又,ABC,+,DCB,=180,，,于是 ,ABC,=90,.,所以,ABCD,是矩形,.,图,2-47,如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线,25,结论,对角线相等的平行四边形是矩形,.,由此得到矩形的判定定理：,结论对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：,26,对角线相等的四边形是矩形,吗？,议一议,议一议,议一议,议一议,议一议,议一议,对角线相等的四边形是矩形吗？议一议议一议议一议议一议议一议议,27,如图,2-48,，在,ABCD,中，它的两条对角线相交于点,O.,（,1,）如果,ABCD,是矩形，试问：,OBC,是什么样,的三角形？,（,2,）如果,OBC,是等腰三角形，其中,OB=OC,，那么,ABCD,是矩形吗？,例,2,图,2-48,举,例,如图2-48，在ABCD中，它的两条对角线相交于点O.例2,28,（,2,）,OBC,是等腰三角形，其中,OB=OC,，,解,（,1,）,ABCD,是矩形，,AC,与,DB,相等且互相平分,.,OBC,是等腰三角形,.,AC=,2,OC=,2,OB=BD,.,ABCD,是矩形,.,图,2-48,（2）OBC是等腰三角形，其中OB=OC，解（1,29,例,3,如图：在,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,交于点,O,EF,AC,O,是垂足，,EF,分别交,AB,、,CD,于点,E,、,F,，且,BE=OE=0.5AE,求证,:ABCD,是矩形,例3 如图：在 ABCD中，对角线AC、BD交于点,30,1.,如图，在四边形,ABCD,中，,A,=,B,=,C,=,D,，,求证：四边形,ABCD,是矩形,.,练习,证明,：因为四边形,中，,A,=,B,=,C,=,D,，,四边形的内角和为,360,，,所以,A,=,B,=,C,=,D=,90,，,所以四边形,ABCD,是矩形,.,(,三个角是直角的四边形是矩形,.),1.如图，在四边形ABCD中，A=B=C=D，练习,31,2.,如图，在,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,AOB,=60,，,AB,=2,，,AC,=4,，求,ABCD,的面积,.,解,：,OA=,2,，,AB,=2,，,OAB,是等腰三角形,.,OAB,是等边三角形,.,又,AOB,=60,，,OA=OB=,2,，,AC=BD=,4.,ABCD,是矩形,.,(,对角线相等的平行四边形是矩形,.),2.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，,32,作,OE,AD,于点,E,.,E,在,Rt,OAE,中，,AO,=2,，,OE,=1,，,作OEAD于点E.E在Rt OAE中，AO=2，O,33,中考 试题,例,在四边形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,互相平分，交点为,O,，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形,ABCD,成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是,.,AC,=,BD,或,ABC,，,CDA,，,BAD,，,BCD,之中有任一个角为直角,解析,依据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形,.,中考 试题例 在四边形ABCD中，对角线AC与,34,所徐志摩曾说过：“一生中至少该有一次，为了某个人而忘记了自己，不求结果，不求同行，不求曾经拥有，甚至不求你爱我，只求在我最美的年华里，遇见你。”我不知道自己是何等的幸运能在茫茫人海中与你相遇？我也不知道你的出现是恩赐还是劫？但总归要说声“谢谢你，谢谢你曾来过”还记得初相识时你那拘谨的样子，话不是很多只是坐在那里听我不停地说着各种不着边际的话。可能因为紧张我也不知道自己想要表达什么？只知道乱七八糟的在说，而你只是静静地听着，偶尔插一两句。想想自己也不知道一个慢热甚至在不熟的人面前不苟言笑的我那天怎么会那么多话？后来才知道那就是你给的莫名的熟悉感和包容吧！有一句话说：“人的一生会遇到两个人，一个惊艳了时光，一个温柔了岁月。”惊艳了时光的那个人，是青春回忆里最绚烂、最耀眼的存在，不后悔跟他经历过的快乐与感动，哪怕后来的大风大浪都是他给的，但还是想对他说，有生之年，欣喜相逢。你给过我太多的快乐和感动，太多的收获和意外，也有太多的心酸和坎坷。可总归你来过我的生命，也带给我许多的美好和小幸福。我不知道是怎样的缘分让我们相遇，可我都不想去追究了，因为我相信每一种遇见，都有意义，每一个爱过的人，都有记忆。无论怎样，都是幸运的，因为你带给了我一些特殊的感受，以至于每次回味起来，都觉得人生是精彩的。我始终还记得那年夏天你为了在我路过的城市见我冒着大雨开车几百公里，只为在车站短短的停留我也记得在街头只因我看了一眼那各式的冰糖葫芦，你穿越熙攘的人群排队为我拿回最后一个糖葫芦欣喜的样子，不是爱吃甜食的我那晚一口气