单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-,*,应用多元统计分析,第六章部分习题解答,1,-,应用多元统计分析第六章部分习题解答1-,第六章 聚类分析,6-1,证明下列结论:,(1)两个距离的和所组成的函数仍是距离;,(2)一个正常数乘上一个距离所组成的函数仍是距离;,(3)设,d,为一个距离,c,0为常数,则,仍是一个距离;,(4)两个距离的乘积所组成的函数不一定是距离;,2,-,第六章 聚类分析 6-1 证明下列结论:2,第六章 聚类分析,(2),设,d,是,距离,a,0为,正常数.令,d*=ad,显然有,3,-,第六章 聚类分析(2)设d是距离,a 0为正常数.,第六章 聚类分析,故,d*=ad,是一个距离.,(3),设,d,为一个距离,c,0为常数,显然有,4,-,第六章 聚类分析故d*=ad是一个距离.4-,第六章 聚类分析,故,d*,是一个距离.,5,-,第六章 聚类分析故d*是一个距离.5-,第六章 聚类分析,6,-,第六章 聚类分析6-,第六章 聚类分析,6-2,试证明二值变量的相关系数为(6.2.2)式，夹角余弦为(6.2.3)式.,证明：,设变量,X,i,和,X,j,是二值变量，它们的,n,次观测值记为,x,ti,x,tj,(,t,=1,n,).,x,ti,x,tj,的值或为0，或为1.由二值变量的列联表（表6.5）可知：变量,X,i,取值1的观测次数为,a,+,b,取值0的观测次数为,c,+,d,;变量,X,i,和,X,j,取值均为1的观测次数为,a,取值均为0的观测次数为,d,等等。利用两定量变量相关系数的公式：,7,-,第六章 聚类分析6-2 试证明二值变量的相关系数为(6.,第六章 聚类分析,8,-,第六章 聚类分析8-,第六章 聚类分析,故二值变量的相关系数为：,(6.2.2),9,-,第六章 聚类分析故二值变量的相关系数为：(6.2.2)9-,第六章 聚类分析,利用两定量变量夹角余弦的公式：,其中,故有,10,-,第六章 聚类分析利用两定量变量夹角余弦的公式：其中故有10-,第六章 聚类分析,6-3,下面是5个样品两两间的距离阵,试用最长距离法、类平均法作系统聚类，并画出谱系聚类图.,解:,用最长距离法:,合并,X,(1),X,(4),=CL4,并类距离,D,1,=1.,11,-,第六章 聚类分析6-3 下面是5个样品两两间的距离阵试用最,第六章 聚类分析,合并,X,(2),X,(5),=CL3,并类距离,D,2,=3.,合并CL3,CL4=CL2,并类距离,D,3,=8.,所有样品合并为一类CL1,并类距离,D,4,=10.,12,-,第六章 聚类分析 合并X(2),X(5)=CL3,并类,第六章 聚类分析,最长距离法的谱系聚类图如下:,13,-,第六章 聚类分析最长距离法的谱系聚类图如下:13-,第六章 聚类分析,合并,X,(1),X,(4),=CL4,并类距离,D,1,=1.,用类平均法:,14,-,第六章 聚类分析 合并X(1),X(4)=CL4,并类,第六章 聚类分析,合并,X,(2),X,(5),=CL3,并类距离,D,2,=3.,合并CL3,CL4=CL2,并类距离,D,3,=(165/4),1/2,.,所有样品合并为一类CL1,并类距离,D,4,=(121/2),1/2,.,15,-,第六章 聚类分析 合并X(2),X(5)=CL3,并类,第六章 聚类分析,类平均法的谱系聚类图如下:,16,-,第六章 聚类分析类平均法的谱系聚类图如下:16-,第六章 聚类分析,6-4,利用距离平方的递推公式,来证明当,0,p,0,q,0,p,+,q,+,1时,系统聚类中的类平均法、可变类平均法、可变法、Ward法的单调性.,证明：,设第,L,次合并G,p,和G,q,为新类G,r,后,并类距离,D,L,D,pq,且必有,D,pq,2,D,ij,2,.,新类G,r,与其它类G,k,的距离平方的递推公式,当,0,p,0,q,0,p,+,q,+,1 时,这表明新的距离矩阵中类间的距离均,D,pq,D,L,，故有,D,L,1,D,L,，即相应的聚类法有单调性.,17,-,第六章 聚类分析6-4 利用距离平方的递推公式来证明当,第六章 聚类分析,对于类平均法，因,故类平均法具有单调性。,对于可变类平均法，因,故可变类平均法具有单调性。,18,-,第六章 聚类分析 对于类平均法，因故类平均法具有单,第六章 聚类分析,对于可变法，因,故可变法具有单调性。,对于离差平方和法，因,故离差平方和法具有单调性。,19,-,第六章 聚类分析 对于可变法，因故可变法具有单调性。故,第六章 聚类分析,6-5,试从定义直接证明最长和最短距离法的单调性.,证明：,先考虑最短距离法：,设第,L,步从类间距离矩阵,出发，假设,故合并G,p,和G,q,为一新类G,r,，这时第L步的并类距离:,且新类G,r,与其它类G,k,的距离由递推公式可知,设第,L+,1步从类间距离矩阵,出发，,20,-,第六章 聚类分析6-5 试从定义直接证明最长和最短距离法的,第六章 聚类分析,故第L1步的并类距离:,即最短距离法具有单调性.,类似地,可以证明最长距离法也具有单调性.,21,-,第六章 聚类分析故第L1步的并类距离:即最短距离法具有单调,第六章 聚类分析,6-6,设A,B,C为平面上三个点,它们之间的距离为,将三个点看成三个二维样品,试用此例说明中间距离法和重心法不具有单调性.,解:,按中间距离法,取,=-1/4,将B和C合并为一类后,并类距离,D,1,=1,而A与新类,G,r,=B,C的类间平方距离为,22,-,第六章 聚类分析6-6 设A,B,C为平面上三个点,它们之,第六章 聚类分析,故中间距离法不具有单调性。,按重心法,将B和C合并为一类后,并类距离,D,1,=1,而,A,与新类,G,r,=B,C的类间平方距离为,当把A与B，C并为一类时，并类距离,23,-,第六章 聚类分析故中间距离法不具有单调性。当把A与B，C,第六章 聚类分析,故,重心法,法不具有单调性。,并类过程如下：,当把A与B，C并为一类时，并类距离,A,B,C,24,-,第六章 聚类分析故重心法法不具有单调性。当把A与B，C并,第六章 聚类分析,解一:,利用,如果样品间的距离定义为欧氏距离,则有,6-7,试推导重心法的距离递推公式(6.3.2);,25,-,第六章 聚类分析解一:利用6-7 试推导重心法的距离递,第六章 聚类分析,26,-,第六章 聚类分析26-,第六章 聚类分析,27,-,第六章 聚类分析27-,第六章 聚类分析,解二:,因样品间的距离定义为欧氏距离,利用,28,-,第六章 聚类分析解二:因样品间的距离定义为欧氏距离,利用28,第六章 聚类分析,利用,29,-,第六章 聚类分析利用29-,第六章 聚类分析,故有,30,-,第六章 聚类分析故有30-,第六章 聚类分析,6-8,试推导Ward法的距离递推公式(6.3.3);,解：,Ward法把两类合并后增加的离差平方和看成类间的平方距离,即把类,G,p,和,G,q,的平方距离定义为,利用,W,r,的定义:,31,-,第六章 聚类分析6-8 试推导Ward法的距离递推公式,第六章 聚类分析,32,-,第六章 聚类分析32-,第六章 聚类分析,33,-,第六章 聚类分析33-,第六章 聚类分析,(当样品间的距离定义为欧氏距离时）,记,G,r,G,p,G,q,则新类,G,r,与其它类G,k,的平方距离为,利用重心法的递推公式(6-7题已证明)可得：,34,-,第六章 聚类分析(当样品间的距离定义为欧氏距离时）记Gr,第六章 聚类分析,35,-,第六章 聚类分析35-,第六章 聚类分析,6-9,设有5个样品,对每个样品考察一个指标得数据为1，2,5,7,10.试用离差平方和法求5个样品分为,k,类(,k,5,4,3，2,1)的分类法,b,k,及相应的总离差平方和,W,(,k,).,解：,计算样品间的欧氏平方距离阵,合并 1,2 CL4,并类距离,D,1,=(0.5),1/2,=0.707，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得,36,-,第六章 聚类分析6-9 设有5个样品,对每个样品考察一个指,第六章 聚类分析,合并 5,7 CL3,并类距离,D,2,=(2),1/2,=1.414,，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得,合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并类距离,D,3,=(32/3),1/2,=3.266，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得,37,-,第六章 聚类分析合并 5,7 CL3,并类距离D2,第六章 聚类分析,合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并类距离,D,4,=(245/6),1/2,=,6.39，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得,分类法,b,k,及相应的总离差平方和,W,(,k,):,k,=5,1,2,5,7,10,W(5)=0,k,=4,1,2,5,7,10,W(4)=0.5,k,=3,1,2,5,7,10,W(3)=2.5,k,=2,1,2,5,7,10,W(2)=13.666,k,=1,1,2,5,7,10,W(1)=54,38,-,第六章 聚类分析 合并 CL4,CL2=1,2,5,