单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,两个变量间的相关关系,1正相关,如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.,2负相关,如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.,3线性相关关系、回归直线,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.,第三节 变量间的相关关系,根底梳理,2.线性回归方程,1最小二乘法,使离差平方和为最小的方法叫做最小二乘法.,2线性回归方程,方程 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据,的线性回归方程，其中a,b是待定参数。,题型一 相关关系的判断,【例1】以下两个变量之间的关系是相关关系的是 (),A.正方体的棱长与体积,B.单位面积产量为常数时，土地面积与产量,C.日照时间与水稻的亩产量,D.电压一定时，电流与电阻,分析 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的关系，函数关系是两变量之间的一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.,解 A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产.,学后反思 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系，关键是判断两个变量间的关系是否是确定的.假设确定，那么是函数关系；假设不确定，那么是相关关系.,典例分析,1.有五组变量：汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；平均日学习时间和平均学习成绩；某人每日吸烟量和其身体健康情况;正方形的边长和面积；汽车的载重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是 (),A.B.C.D.,解析:,由相关的有关概念可知为正相关，为负相关，为函数关系.,答案：,C,举一反三,480,470,460,410,360,330,320,水稻产量,45,40,35,30,25,20,15,施化肥量,【例2】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据,（1）将上述数据制成散点图；,（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？,分析,判断变量间是否是线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图.,解1散点图如下：,2从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系.当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长.,学后反思 散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量根底之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度.,2.下表是某地的年降雨量mm与年平均气温的数据资料，两者是线性相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？,举一反三,年平均,气温（）,12.51,12.84,12.84,13.69,13.33,12.47,13.05,年降雨,量(mm),748,542,507,813,574,701,432,解析：以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量，可得相应的散点图如下图.因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合.如果用公式求得回归直线方程也是没有意义的.,题型二 求回归直线方程,【,例3,】在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：,分析,利用公式确定参数a、b的值，从而求出回归直线方程.,温度（x）,0,10,20,50,70,溶解度（y）,66.7,76.0,85.0,112.3,128.0,由资料看y对x呈线性相关，试求回归直线方程.,学后反思,因为y对x呈线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.,（1）利用公式 ，来计算回归系数，有时常制表对应求出 ,以便于求和.,（2）本题在计算时可以借助计算器.,举一反三,3.2021日照模拟某中学期中考试后，对成绩进行分析,从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：,学生,学科,1,2,3,4,5,总成绩（x）,482,383,421,364,362,外语成绩（y）,78,65,71,64,61,那么外语成绩对总成绩的回归直线方程是,题型三 利用回归直线方程对总体进行估计,【例4】(12分)下表是几个国家近年来男性与女性的平均寿命单位：岁情况：,国家,男性平均寿命（x）,女性平均寿（y）,调查年号,中国,70,73,2000,韩国,73.4,80.4,2002,马来西亚,71,75.5,2003,美国,78.1,82.6,2005,法国,75.5,82,2001,日本,78.6,85.6,2004,1如果男性与女性的平均寿命近似成线性关系,求它们之间的回归直线方程；,2科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁.现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命精确到0.1岁.,分析1此题假设没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归直线方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.,2求回归直线方程的关键：计算出,解,列表如下,1,2,3,4,5,6,70,73.4,71,78.1,75.5,78.6,73,80.4,75.5,82.6,82,85.6,5110,5901.36,5360.5,6451.06,6191,6728.16,4,.6,.8,.10,可预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁,.12,学后反思,利用回归直线方程对总体进行估计时，需先求出回归直线方程，然后代入回归直线方程得到估计值.,举一反三,4.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数y与当天气温x的比照表.,气温/,26,18,13,10,4,-1,杯数,20,24,34,38,50,64,1将上表中的数据制成散点图;,2你能从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成什么关系吗？,3如果近似成线性关系的话，请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系；,4如果某天的气温是-5 时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数.,解析 1散点图如图：,2从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成线性相关关系.,3求出回归直线方程用来近似地表示这种线性关系，用 来近似地表示这种线性关系.,4如果某天的气温是-5，用 预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为,10.2021滨州模拟某小卖部为了了解热茶销量y杯与气温x之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表如下：,气温（）,18,13,10,-1,杯数,24,34,38,64,由表中数据算得线性回归方程 中的 ，预测当气温为-5时，热茶的销量约为,解析：由题意知 ,所以样本中心点为10，40，因为样本中心点必在线性回归方程上，易得a=60,所以线性回归方程为 ,根据回归方程的预测，当气温为-5 时，热茶销量为-2-5+60=70.,答案：,70,考点演练,11.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y吨标准煤的几组对照数据.,x,3,4,5,6,y,2.5,3,4,4.5,(1)请画出上表数据的散点图；,(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ;,(3)该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据2求出的线 性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5,解析 1如图,从散点图看出两组变量具有线性相关关系.,故线性回归方程为 .,3根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35吨,故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).,故线性回归方程为 .,3根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35吨,故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).,12.要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，记录他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：,学生编号,入学成绩(x),高一期末考试成绩（y）,1,63,65,2,67,78,3,45,52,4,88,82,5,81,92,6,71,89,7,52,73,8,99,98,9,58,56,10,76,75,1画出散点图；,2求出线性回归方程；,3假设某学生入学的数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩保存两位有效数字.,解析 1入学成绩x与高一期末考试成绩y两组变量的散点图如图.从散点图看，这两组变量具有线性相关关系.,2设线性回归方程为 ,在两组变量具有显著的线性相关关系的情况下,.因此所求的线性回归方程是 .,3假设某学生入学的数学成绩为80分，代入式可求得 ,即这个学生高一期末数学考试成绩的预测值为84分.,