,偏微分方程的建立,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的建立,运输方程的建立,弦振动方程的建立,热传导方程的建立,泊松方程的建立,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的建立运输方程的建立Depart.Math.,1,偏微分方程的导出-,运输方程,1.运输方程（石油管道运输、南水北调）,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-运输方程1.运输方程（石油管道运输、,2,偏微分方程的导出-,运输方程,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-运输方程Depart.Math.,3,偏微分方程的导出-,运输方程,运输方程,u,t,+cu,x,=0,水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度c流动,水中含有某物质（如，污染物），以u（x,t）记其含量,方程意义：污染物含量的变化率,u,t,正比于其梯度,u,x,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-运输方程运输方程Depart.Mat,4,偏微分方程的导出-,运输方程,0 b,u(x,t),c,ch b+ch,污染物在t时刻、区间0,b内的总量,M=,0,b,u(x,t)dx,=,ch,b+ch,u(x,t)dx,对b求导可得 u(b,t)=u(b+ch,t+h),对h求导，并令h=0,可得 0=cu,x,+u,t,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-运输方程Depart.Math.,5,偏微分方程的导出-,运输方程,高维运输方程,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-运输方程高维运输方程Depart.M,6,偏微分方程的导出-,振动方程,2.,弦振动方程,（小提琴、吉他、二胡）,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程2.弦振动方程Depart.,7,偏微分方程的导出-,振动方程,u(x,t),0 l,T(x,1,t),u,x,1,T(x,0,t),x,0,x,1,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程,8,偏微分方程的导出-,振动方程,物理假设：,柔软、均匀、细小弹性弦作微小横振动,柔软,张力方向指向弦的切线方向,均匀,弦的线密度为常数,细小,重力忽略不计,微小,横振动 u,u,x,很小,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程物理假设：Depart.Ma,9,偏微分方程的导出-,振动方程,物理定律：,牛顿第二定律 F=ma,纵向,横向,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程物理定律：牛顿第二定律 F=m,10,偏微分方程的导出-,振动方程,数学简化,泰勒展开式,微分可得,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程数学简化 泰勒展开式Depar,11,偏微分方程的导出-,振动方程,张力T大小为常数,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程张力T大小为常数Depart.,12,偏微分方程的导出-,振动方程,弦振动方程的,变种,空气阻力 正比于 速度,横向弹性力 正比于 位移,系统受外力,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程弦振动方程的变种Depart.,13,偏微分方程的导出-,振动方程,弦振动方程的,其他来源CRL电路,R,C,L,物理量：电流u(x,t),电容 C，电阻 R，电感 L，电漏 G,物理定律：Kirchhoff定律,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程弦振动方程的其他来源CRL电,14,偏微分方程的导出-,振动方程,CRL电路的方程,理想传输线：R=G=0,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程CRL电路的方程Depart.,15,偏微分方程的导出-,振动方程,高维振动方程-鼓面（薄膜）的振动,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程高维振动方程-鼓面（薄膜）,16,偏微分方程的导出-,振动方程,物理假设,水平方向没有运动，D,u(x,y,z,t)为竖直方向位移,平面区域 D，边界,物理定律,牛顿第二定律,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程物理假设,17,偏微分方程的导出-,振动方程,数学化简,Green公式,弹性张力大小为常数,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-振动方程数学化简Depart.Mat,18,偏微分方程的导出-,扩散方程,扩散方程油滴、墨渍等在水中扩散,x,0,x,1,管内从x,0,到x,1,扩散物质总质量及其变化率,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-扩散方程扩散方程油滴、墨渍等在水中扩,19,偏微分方程的导出-,扩散方程,物理定律,Fick扩散定律,扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域扩散，扩散速度正比于浓度的梯度,流入量-流出量,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-扩散方程物理定律Fick扩散定律De,20,偏微分方程的导出-,扩散方程,数学简化,对x,1,求导，得到扩散方程,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-扩散方程数学简化Depart.Mat,21,偏微分方程的导出-,扩散方程,高维扩散方程,对任意区域D，有等式,由区域的任意性，可得,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-扩散方程高维扩散方程Depart.M,22,偏微分方程的导出-,热传导方程,热传导方程,u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内的总热量，c为比热，,为密度,热量的变化率,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-热传导方程热传导方程Depart.M,23,偏微分方程的导出-,热传导方程,物理定律-傅里叶热传导定律,热量总是从温度高的区域流向温度低的区域，流速正比于温度的梯度，因此，沿区域D的边界热量流出流入量为,能量守恒定律,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-热传导方程物理定律-傅里叶热传导定,24,偏微分方程的导出-,热传导方程,数学化简散度定理,由区域的任意性，可得微分方程,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-热传导方程数学化简散度定理Depar,25,偏微分方程的导出-,泊松方程,波动或扩散的稳态方程,u(x,y,z,t)不依赖于t，则u,t,=0,u=0,静电场,q,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-泊松方程波动或扩散的稳态方程 Depa,26,偏微分方程的导出-,薛定谔方程,氢原子的薛定谔波函数方程,m电子质量，e电子电量，普朗克常数除以2,，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满足薛定谔方程,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-薛定谔方程氢原子的薛定谔波函数方程De,27,偏微分方程的导出-,薛定谔方程,物理意义：,在量子力学中，物理量不能够精确测定，只能以概率形式测定，积分,表示电子出现在区域D内的概率，,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-薛定谔方程物理意义：Depart.M,28,偏微分方程的导出-,薛定谔方程,薛定谔波函数方程,被认为是公理，而不是由其他更为简单定律的推论；它解释了为什么原子结构是稳定的，不会塌陷；波尔观察到的氢原子中电子的能级；理论上，它可以解释原子和分子的结构以及其化学性质。（多粒子薛定谔方程变量太多，而不好解。）,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-薛定谔方程薛定谔波函数方程Depart,29,偏微分方程的导出-,麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组电磁学的基石,电磁学表述了带电粒子之间的相互作用：带电粒子产生电场E，运动的带电粒子产生磁场B。,真空中的麦克斯韦方程组,（齐次）,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电磁学的基石,30,偏微分方程的导出-,麦克斯韦方程组,数学化简,真空中的,电场E和磁场B,满足波动方程,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组数学化简Depart.Ma,31,偏微分方程的导出-,麦克斯韦方程组,非真空中的麦克斯韦方程组（非齐次）,Depart.Math.,USTC,宣本金,偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组非真空中的麦克斯韦方程组（非,32,