单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,合情推理与演绎推理,2.1.1.,合情推理,2.1合情推理与演绎推理2.1.1.合情推理,1.,推理,是人们思维活动的过程，是根,据一个或多个已知的判断来确定一个,新的思维过程。,一、推理的定义及分类,2.,日常生活中的例子,看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。,我们会推断,天要下雨啦；,1.推理是人们思维活动的过程，是根一、推理的定义及分类2.日,某同学今天没有来上课。,谚语说：,“,八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯,”,。等等。,3.,分类：,推理,二、合情推理,我们会推断,某同学,生病啦；,合情推理,某同学今天没有来上课。谚语说：“八月十五云遮月，来年正月,哥德巴赫猜想,(Goldbach Conjecture),世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于,1690,年，,1725,年当选为俄国彼得堡科学院院士。,1742,年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于,6,的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如,6,3,3,，,12,5,7,等等。,公元,1742,年,6,月,7,日哥德巴赫,(Goldbach),写信给当时的大数学家欧拉,(Euler),，提出了以下的猜想,:,(a),任何一个,=6,之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。,(b),任何一个,=9,之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。,1,、归纳推理：,哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)世界近,歌德巴赫猜想的提出过程：,3,7,10,，,3,17,20,，,13,17,30,，,歌德巴赫猜想,:,“,任何一个不小于,6,的偶数都等于两个奇质数之和,”,即,:,偶数奇质数奇质数,改写为,:,10,3,7,，,20,3,17,，,30,13,17,6,3+3,，,1000,29+971,，,8,3+5,，,1002=139+863,10,5+5,12,5+7,，,14,7+7,，,16,5+11,18=7+11,，,歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想:即:偶数奇质数奇质,这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为,归纳推理,.(,简称,;,归纳,),归纳是立足于观察、经验,、,实验和对有限资料分析的基础上,.,提出带有规律性的结论,.,需证明,简之：由部分到整体，由个别（,特殊）,到一般 的推理。（,结论只是猜测）,例如：由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳出,“,一切金属都导电,”,；,由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是,180,0,，归纳出,“,所有三角形的内角和都是,180,0,。,这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象,归纳推理的一般步骤：,对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；,提出带有规律性的结论，即猜想；,检验猜想。,具体问题,实验观察,经验归纳,猜想结论,证 明,归纳推理的基础,观察、分析,归纳推理的作用,发现新事实、获得新结论,注意,归纳推理的结论不一定成立,归纳推理的一般步骤：对有限的资料进行观察、分析、归纳、整,例,1:,已知数列,a,n,的第,1,项,a,1,=1,且,(,n,=1,2,3,),试归纳出这个数列的通项公式,.,分析：数列的通项公式表示的是数列,a,n,的第,n,项,a,n,与序号,n,之间的对应关系。为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项；然后，再根据其特征归纳推理出它的通项公式。,例1:已知数列an的第1项a1=1且分析：数列的通项公式,解：,当,n,=1,时，,a,1,=1;,当,n,=2,时，,当,n,=3,时，,当,n,=4,时，,观察可得，数列的前,4,项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：,解：当n=1时，a1=1;当n=2时，当n=3时，当n=4时,1,、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子,.,鲁班的思路是这样的：,茅草是齿形的,；,茅草能割破手,.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的,.,2,、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，,发明了潜水艇,.,2,、类比推理：,1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖,火星,地球,相似点,:,绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部,分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。,地球上有生命,火星上可能有生命,猜想,火星上是否有生命？,相似点,:,火星地球相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、,合情推理与演绎推理合情推理课件,试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质：,(1),a,=,b,a,+,c,=,b,+,c,;,(2),a,=,b,ac,=,bc,;,(3),a,=,b,a,2,=,b,2,;,等等。,猜想不等式的性质：,(1),a,b,a+c,b,+,c,;,(2),a,b,ac,bc,;,(3),a,b,a,2,b,2,;,等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：猜想不等式的性,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为,类比推理（简称类比）,类比推理的定义,:,简言之，类比推理是由,特殊到特殊,的推理,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特,类比推理的特点：,1.,类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是,以旧有的认识为基础,类比出新的结果,.,2.,类比是从一种事物的,特殊属性,推测另一种事物的,特殊属性,.,3.,类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能,.,类比推理的一般步骤,:,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤：,找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；,检验猜想。,类比推理的特点：1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测,类比推理,的作用,类比推理的特点,以,旧,的知识为基础,推测,新,的结果，具有,发现的功能,由,特殊到特殊,的推理,类比推理的结论,不一定成立,注意,类比推理类比推理的特点由特殊到特殊的推理类比推理的结论不一定,提示：一定成立；不一定成立,想一想,1.,归纳推理所归纳的结论对已考定过的对象一定成立吗？对未被考定的对象一定成立吗？,提示：,(1),猜想和发现结论；,(2),提供证明的思路和方向,2.,合情推理在数学上有什么作用？,提示：一定成立；不一定成立想一想提示：(1)猜想和发现结论,例,2,、试将平面上的圆与空间的球进行类比,.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合,.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,圆,弦,直径周长,面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点,(,x,0,y,0,),为圆心,r,为半径的圆的方程为,(,x,-,x,0,),2,+(,y,-,y,0,),2,=,r,2,圆心与弦,(,非直径,),中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面,(,圆面,),的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点,(,x,0,y,0,z,0,),为球心,r,为半径的球的方程为,(,x,-,x,0,),2,+(,y,-,y,0,),2,+(,z,-,z,0,),2,=,r,2,利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距,例,3,类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质,.,类比角度,实数的加法,实数的乘法,运算结果,若,a,b,R,则,a,+,b,R,运算律,(,交换律和结合律,),a,+,b,=,b,+,a,(,a,+,b,)+,c,=,a,+(,b,+,c,),逆运算,加法的逆运算是减法,使得方程,a,+,x,=0,有唯一解,x,=-,a,单位元,a,+0=,a,若,a,b,R,则,ab,R,ab,=,ba,(,ab,),c,=,a,(,bc,),乘法的逆运算是除法,使得,ax,=1,有唯一解,x,=1/,a,a,1=,a,例3 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.类比角度,通过例,2,，例,3,你能得到,类比推理的一般模式,吗？,类比推理的一般模式,:,所以,B,类事物可能具有性质,d,.,A,类事物具有性质,a,b,c,d,B,类事物具有性质,a,b,c,(,a,b,c,与,a,b,c,相似或相同）,通过例2，例3你能得到类比推理的一般模式吗？类比推理的一般模,运用类比法的关键是：,寻找一个合适的,类比对象,基本原则是：要根据当前问题的需要，选择,适当的类比对象,。,思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象,构成几何体的元素数目：三角形 四面体,平面图形（二维）,立体图形（三维）,点,点或线,线,线或面,平面直角坐标系,空间直角坐标系,运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象基本原则是：要根据,直角三角形,C,90,3,个边的长度,a,，,b,，,c,2,条直角边,a,，,b,和,1,条斜边,c,类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,3,个面两两垂直的四面体,PDF,PDE,EDF,90,4,个面的面积,S,1,，,S,2,，,S,3,和,S,3,个“直角面”,S,1,，,S,2,，,S,3,和,1,个“斜面”,S,直角三角形C90类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出,例,4,：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,a,b,c,o,A,B,C,s,1,s,2,s,3,c,2,=,a,2,+,b,2,S,2,ABC,=S,2,AOB,+S,2,AOC,+S,2,BOC,猜想,:,例4：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质,例,:,如图有三根针和套在一根针上的若干金属片,.,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上,.1.,每次只能移动,1,个金属片,;2.,较大的金属片不能放在较小的金属片上面,.,试推测,;,把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针,最少需要移动多少次,?,解,;,设,a,n,表示移动,n,块金属片时的移动次数,.,当,n,=1,时,a,1,=1,当,n,=2,时,a,2,=,3,1,2,3,例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规,当,n,=1,时,a,1,=1,当,n,=2,时,a,2,=,3,解,;,设,a,n,表示移动,n,块金属片时的移动次数,.,当,n,=3,时,a,3,=,7,当,n,=4,时,a,4,=,15,猜想,a,n,=,2,n,-1,1,2,3,当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解;设an表示移动n,类比推理,由,特殊到特殊,的推理,;,以旧的知识为基础,推测,新,的结果；,结论不一定成立,.,归纳推理,由部分到整体、,特殊到一般,的推理,;,以观察分析为基础,推测,新,的结论,;,具有,发现,的功能,;,结论不一定成立,.,具有,发现,的功能,;,类比推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结果；,小结,归纳推理和类比推理的过程,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,通俗地说，合情推理是指,“合乎情理”,的推理,.,合情推理,归纳推理,类比推理,小结归纳推理和类比推理的过程从具体问题出发观察、分,方法感悟,方法感悟,课堂小结：,