单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,17.1一元二次方程的概念,17.1一元二次方程的概念,1,某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟,周长,为,900,米的一块长方形绿地，并且长比宽多,10,米，那么绿地的长和宽各为多少？,问题,1,：,解：设长方形绿地的宽为,x,米，得,整理可得：,（,1,）,变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟,面积,为,900,平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多,10,米，那么绿地的长和宽各为多少？,解：设长方形绿地的宽为,x,米，得,整理可得：,（,2,）,某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长为90,2,思考,1,：方程（,2,）与一元一次方程的区别在哪里？,思考,2,：方程（,1,）和方程（,2,）有什么共同点呢？,思考,3,：你能类比一元一次方程给方程（,2,）起个名称吗？,思考,4,：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是一元二次方程吗？,只含有一个未知数,，并且未知数的,最高次数是,2,的,整式方程,，叫做一元二次方程。,思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？思考2：方程（,3,一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？,ax,=,b,(,a,0,）,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0,）,都是整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是,1,未知数最高次数是,2,整式,方程,一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b,4,一元二次方程的概念,像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做,一元二次方程。,都是,整式,方程,;,只含,一,个未知数,;,未知数的最高次数是,2.,即：一元二次方程,的共同特点,:,（默,1,）,一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式,只含有一个未,5,一般地,任何一个关于,x,的一元二次方程都可以化为,的形式,我们把,(,a,b,c,为常数，,a,0,）称为,一元二次方程的一般形式,.,为什么要限制,a,0,，,b,c,可以为零吗？,a x,2,+,b x,+,c,=0,(,a,0),b,是,一次项系数,一元二次方程的,一般,形式,a,是二次项系数,常数项,二次项,一次项,“,=,”,的右边必须整理成,0.,（默,2,）,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为为什,6,ax,2,+bx=0,(a0,b0),一元二次方程的一般形式,ax,2,+bx+c=,0,(,a,0),完全的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,(a0,b0,c0),不完全的,一元二次方程,ax,2,+c=0,(a0,c0),ax,2,=0,(a0),归纳：,ax2+bx=0(a0,b0)一元二次方程的,7,例,1,：,判断下列方程是否为一元二次方程？,(1),x,2,+,x,=36,(2),x,3,+,x,2,=36,(3),x,+3,y,=36,(5),x,+1=0,判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程化为,一般式,，然后根据一元二次方程必须同时满足的,三个条件,进行判别。,（默,3,）,（默,3,）,例1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x,8,下列方程中哪些是一元二次方程？,是一元二次方程的有：,_,尝试练习：,可能为,0,是分式,是二次根式,下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：_,9,例题讲解,例2,将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：,(1),例题讲解,(2),解：,二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是,包括符号,的,例题讲解例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们,10,a,x,2,+,b,x+,c,=0,注意,:,要确定一元二次方程的系数和常数项,必须先将方程化为一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项,(a0),在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的,次数从高到低排列,即,先写,二次项,再写,一次项,最后是,常数项。,ax2+bx+c=0注意:要确定一元二次方程,11,例,3,.,把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,3x,2,5x,1,0,x,2,x,8,0,3,5,1,1,1,8,3,5,1,1,1,8,7x,2,4,0,7,0,4,例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数,12,4,2,x,2,+,x,+4=0,2,1,-4y,2,+2y=0,-4,2,0,3,x,2,-,x,-1=0,3,-1,-1,抢答：,4,x,2,-,5,=0,4,0,-5,m-3,1-m,-m,3,x,(,x,-1)=5(,x,+2),(m-3)x,2,-(m-1)x-m=0(m3),3,-8,-10,42x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x,13,方程(2,a,4),x,2,2,bx,+,a,=0,在什么条件下此方程为,一元二次,方程？,在什么条件下此方程为,一元一次,方程？,解：,由题意得，,2a,40,，解之得,a2,当,a,2,时是一元二次方程；,2a,4=0 a=2,2b0,b,0,由题意得，,解之得,当,a,2,且,b,0,时是一元一次方程,.,例,4,：,（默,4,）,方程(2a4)x2 2bx+a=0,14,5,（默,5,）,5（默5）,15,1.,关于,x,的方程,(k,3)x,2,2x,1,0,当,k,时，是一元二次方程,2.,关于,x,的方程,(k,2,1)x,2,2(k,1)x,2k,2,0,当,k,时，是一元二次方程,当,k,时，是一元一次方程,3,1,1,练习巩固,1.关于x的方程(k3)x2 2x10,2.关于x,16,4.,当,m,为何值时,方程,是关于,x,的一元二次方程,.,m=1,3.,下列方程中,无论,a,为何值,总是关于,x,的一元二次方程的是,(),A.(2x-1)(x,2,+3)=2x,2,-a B.ax,2,+2x+4=0,C.ax,2,+x=x,2,-1 D.(a,2,+1)x,2,=0,D,4.当m为何值时,方程,17,已知关于,x,的一元二次方程,(,m,1),x,2,3,x,-5,m,4,0,有一根为,2,求,m,.,分析,:,一根为,2,，即,x,2,只需把,x,2,代入原方程,.,一元二次方程解的概念,方程解的定义是怎样的呢,?,能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解,.,一元二次方程的,解,也叫做一元二次方程,根,.,（默,6,）,已知关于x的一元二次方程(m1)x23x-5m40有,18,已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+ax+a=0,的一个根是,3,，求,a,的值。,解：由题意得,把,x=3,代入方程,x,2,+ax+a=0,得，,3,2,+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,练一练,已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a,19,一元二次方程的概念课件,20,6,6,21,一元二次方程的概念课件,22,已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),一个根为,1,求,a+b+c,的值,.,解：由题意得,思考,:,若,a+b+c=0,你能通过观察,求出方程,ax,2,+bx+c=0(a0),一个根吗,?,解：由题意得,方程,ax,2,+bx+c=0(a0),一个根是,1,拓展,:,若,a-b+c=0,你能通过观察,求出方程,ax,2,+bx+c=0(a0),一个根吗,?,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,已知关于x的一元二次方程 解：由题意得思考:若 a+b+c,23,讨论：当一元二次方程有一个根为,0,或,1,、,-1,时，一元二次方程的项有什么特征？,对于一元二次方程 ，当有一个根为,0,时，常数项 为,0,；当有一个根为,1,时，二次项系数、一次项系数、常数项的和为,0,，即 ；,当有一个根为,-1,时，一次项系数等于二次项系数与常数项的和，即 。,讨论：当一元二次方程有一个根为0或1、-1时，一元二次方程的,24,-1,1,2,0,（默,7,）,-1120（默7）,25,?,A.1 B.-1 C.1,或,-1 D.0,B,?A.1 B.-1 C.1或-1,26,看谁眼力好！,下列方程中，哪些是一元二次方程？,先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件,看谁眼力好！下列方程中，哪些是一元二次方程？先看是不是整式方,27,1.本节学习的数学知识是：,2,、学习的数学思想方法是,3,、如何理解一元二次方程的一般形式,(a0),？,（,1,）,（,2,）,（,1,）,（,2,）,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式,转化、建模思想。,(a0),是成为一元二次方程的必要条件,找一元二次方程的二次项、一次项,系数及常数项要先化为一般式,1.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是,28,知识回顾,一、一元二次方程的概念,一般形式：,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0),对应练习,1,：,1.,将一元二次方程,(,x,-2)(2,x,+1)=3,x,2,-5,化为一般,形式,.,其中二次项系数,，常数项,.,2.,当,m,时，方程,mx,2,-3,x,=2,x,2,-,mx,+2,是一元二次方程,.,当,m,时，方程,(,m,2,-4),x,2,-(,m,+2),x,-3=0,是一元一次方程,.,x,2,+3x-3=0,1,-3,2,2,知识回顾一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0,29,1.,下列方程中，关于,x,的一元二次方程是（）,A.,B.,C.,D.,A,（,1,）三个特征：只含有一个未知数；,方程的两边都是整式；,未知数的最高次数为,2,次,.,（,2,）形如,ax,2,+bx+c=0,（,a0,）叫做一元二次方程,.,2.,关于,x,的方程（,a-1,）,x,2,-2x+3=0,是一元二次方程，则（）,A.a1 B.a1 C.a=1 D.a1,D,一元二次方程的概念,1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.B,30,方程（,m,1),x,2,mx,1=0,为关于,x,的一元二次方程,则,m,的值为,(),A.,任何实数,B.,m,0,C.,m,1 D.,m,0,且,m,1,C,4.,下列方程中,无论,a,为何值,总是关于,x,的一元二次方程的是,(),A.(2x-1)(x,2,+3)=2x,2,-a,B.ax,2,+2x+4=0,C.ax,2,+x=x,2,-1,D.(a,2,+1)x,2,=0,D,方程（m1)x2mx1=0为关于x的一元二次方程,则m,31,5、已知x=2是一元二次方程 的一个解，则m=_,。,6,、已知 是方程,的一个解，则 的 值是,_,。,-3,5,7,、,方程,mx,2,+5x+m=0,一定是（）。,(A),一元二次方程；,(B),一元一次方程,;,(C),整式方程,;(D),关于,x,的一元二次方程,C,5、已知x=2是一元二次方程,32,已知方程(,m,2),(,m,2),x,4,0,（1）,m,为何值时它是一元二次方程？,（2）,m,为何值时它是一元一次方程？,分析：（,1,）由一元二次方程的一般形式，,m,2,2,2,，故,m,2,0,，故,m,2,；,（,2,）需分三种情况讨论：,m,2,0,，此时,m,2,；,m,2,2,1,，此时,m,；显然,x,0,，故若,m,2,2,0,，则原方程也是一元一次方程,已知方程(m2)(m2)x,33,解：（1）由,m,2,2,2，,m,2,0,得,m,2；,（2）分三种情况讨论：,一元二次方程中未知数的最高次数是,2,，且二次项系数不为,0,。,一元二次方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。,34,m,2,0,即,m,2时,原方程为4,x,4,0，是一元一次方程；,m,2,2,1，即,m,时，原方程为,2,x,4,0，是,一元一次方程；,显然,x,0