单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,k,c,m,建模方法,1,：,将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。,要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。,缺点：模型粗糙，,没有,考虑,人与车,、,车与车轮,之间的相互影响。,优点：模型简单；,分析：,人与车,、,车与车轮,、,车轮与地面,之间的运动存在耦合。,多自由度系统振动,2024/11/20,1,kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性,k,2,c,2,m,车,m,人,k,1,c,1,建模方法,2,：,车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：模型较为精确，,考虑,了,人与车,之间的耦合；,缺点：,没有,考虑,车与车轮,之间的相互影响。,多自由度系统振动,2024/11/20,2,k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的,m,人,k,1,c,1,k,2,c,2,m,k,3,c,3,k,2,c,2,k,3,c,3,m,车,m,轮,m,轮,建模方法,3,：,车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：分别考虑了,人与车,、,车与车轮,之间的相互耦合，模型较为精确,.,问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？,多自由度系统振动,2024/11/20,3,m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建,教学内容,多自由度系统的动力学方程,多自由度系统的自由振动,频率方程的零根和重根情形,多自由度系统的受迫振动,有阻尼的多自由度系统,多自由度系统振动,2024/11/20,4,教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动2023/1,作用力方程,刚度矩阵和质量矩阵,位移方程和柔度矩阵,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,耦合与坐标变换,多自由度系统的动力学方程,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,5,作用力方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动/多自,作用力方程,几个例子,例,1,：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。,不计摩擦和其他形式的阻尼。,试建立系统的运动微分方程。,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,6,作用力方程几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振,解：,的原点分别取在,的静平衡位置。,建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,P,1,(,t,),k,1,x,1,k,2,(,x,1,-,x,2,),m,1,P,2,(,t,),k,2,(,x,1,-,x,2,),m,2,k,3,x,2,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,x,1,x,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,7,解：的原点分别取在 的静平衡位置。建立坐标：设某一瞬时：上,建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,P,1,(,t,),k,1,x,1,k,2,(,x,1,-,x,2,),m,1,P,2,(,t,),k,2,(,x,1,-,x,2,),m,2,k,3,x,2,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,8,建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(,例,2,：转动运动,两圆盘,转动惯量,轴的三个段的扭转刚度,试建立系统的运动微分方程。,外力矩,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,9,例2：转动运动两圆盘转动惯量 轴的三个段的扭转刚度 试建立系,解：,建立坐标：,角位移,设某一瞬时：,角加速度,受力分析：,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,10,解：建立坐标：角位移设某一瞬时：角加速度受力分析：多自由度系,建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,11,建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项 多自由度系统振动/多,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。,如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,12,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。,小结：,可统一表示为：,例,1,：,例,2,：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,/,作用力方程,若系统有,n,个自由度，则各项皆为,n,维矩阵或列向量,2024/11/20,13,小结：可统一表示为：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向,n,个自由度系统,:,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,质量矩阵第,j,列,刚度矩阵第,j,列,n,维广义坐标列向量,2024/11/20,14,n 个自由度系统:多自由度系统振动/多自由度系统的动力学,刚度矩阵和质量矩阵,回顾：,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,等效刚度：,使系统,只,在选定的坐标上产生,单位位移,而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。,等效质量：,使系统,只,在选定的坐标上产生,单位加速度,而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。,2024/11/20,15,刚度矩阵和质量矩阵回顾：多自由度系统振动/多自由度系统的,刚度矩阵和质量矩阵,当,M,、,K,确定后，系统动力方程可完全确定,M,、,K,该如何确定？,作用力方程：,先讨论,K,加速度为零,假设外力是以,准静态方式,施加于系统,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,准静态外力列向量,静力平衡,2024/11/20,16,刚度矩阵和质量矩阵当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定,作用力方程：,假设作用于系统的是这样一组外力：,它们使系统只在第,j,个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移,.,即：,代入：,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,17,作用力方程：假设作用于系统的是这样一组外力：,所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵,K,的第,j,列,.,（,i=,1,n,）：,在第,i,个坐标上施加的力,.,结论：,刚度矩阵,K,中的元素,k,ij,是使系统仅在第,j,个坐标上产生单位位移而相应于第,i,个坐标上所需施加的力,.,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,2024/11/20,18,所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列.（i,结论：,刚度矩阵,K,中的元素,k,ij,是使系统仅在第,j,个坐标上产生单位位移而相应于第,i,个坐标上所需施加的力,.,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,第,j,个坐标产生单位位移,刚度矩阵第,j,列,系统刚度矩阵,j=,1,n,确定,2024/11/20,19,结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个,作用力方程：,讨论,M,假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移,.,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,假设作用于系统的是这样一组外力：,它们使系统只在第,j,个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度,.,2024/11/20,20,作用力方程：讨论 M假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速,这组外力正是质量矩阵,M,的第,j,列,结论：,质量矩阵,M,中的元素,是使系统仅在第,j,个坐标上产生单位加速度而相应于第,i,个坐标上所需施加的力,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,第,j,个坐标单位加速度,质量矩阵第,j,列,系统质量矩阵,j=,1,n,确定,2024/11/20,21,这组外力正是质量矩阵 M 的第 j 列 结论：质量矩阵 M,质量矩阵,M,中的元素,m,ij,是使系统仅在第,j,个坐标上产生单位加速度而相应于第,i,个坐标上所需施加的力,.,m,ij,、,k,ij,又分别称为,质量影响系数,和,刚度影响系数,。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,，从而建立作用力方程，这种方法称为,影响系数方法,.,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵,K,中的元素,k,ij,是使系统仅在第,j,个坐标上产生单位位移而相应于第,i,个坐标上所需施加的力,.,2024/11/20,22,质量矩阵 M 中的元素mij 是使系统仅在第,例：写出,M,、,K,及运动微分方程,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),m,3,k,4,k,5,k,6,P,3,(,t,),解：,先只考虑静态,令,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,使,m1,产生单位位移所需施加的力：,保持,m2,不动所需施加的力：,保持,m3,不动所需施加的力：,只使,m1,产生单位位移，,m2,和,m3,不动,.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第一列,2024/11/20,23,例：写出 M、K 及运动微分方程 m1m2k3k1k2P,例：写出,M,、,K,及运动微分方程,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),m,3,k,4,k,5,k,6,P,3,(,t,),解：,先只考虑静态,令,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵：,使,m1,产生单位位移所需施加的力：,保持,m2,不动所需施加的力：,保持,m3,不动所需施加的力：,只使,m1,产生单位位移，,m2,和,m3,不动,.,2024/11/20,24,例：写出 M、K 及运动微分方程 m1m2k3k1k2P,例：写出,M,、,K,及运动微分方程,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),m,3,k,4,k,5,k,6,P,3,(,t,),解：,先只考虑静态,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,使,m2,产生单位位移所需施加的力：,保持,m1,不动所需施加的力：,保持,m3,不动所需施加的力：,只使,m2,产生单位位移，,m1,和,m3,不动,.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第二列,令,2024/11/20,25,例：写出 M、K 及运动微分方程 m1m2k3k1k2P,例：写出,M,、,K,及运动微分方程,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),m,3,k,4,k,5,k,6,P,3,(,t,),解：,先只考虑静态,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,使,m2,产生单位位移所需施加的力：,保持,m1,不动所需施加的力：,保持,m3,不动所需施加的力：,只使,m2,产生单位位移，,m1,和,m3,不动,.,令,刚度矩阵：,2024/11/20,26,例：写出 M、K 及运动微分方程 m1m2k3k1k2P,例：写出,M,、,K,及运动微分方程,m,1,m,2,k,3,k,1,k,2,P,1,(,t,),P,2,(,t,),m,3,k,4,k,5,k,6,P,3,(,t,),解：,先只考虑静态,多自由度系统振动,/,多自由度系统的动力学方程,使,m3,产生单位位移所需施加的力：,保持,m2,不动所需施加的力：,保持,m1,不动所需施加的力：,只使,m3,产生单位位移，,m1,和,m2,不动,.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第三列,令,2024/11/20,27,例：写出 M、K 及运动微分方程 m1m2k3k1k2P,例：写出,M,、,K,及运动微分方程,m