单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ppt课件,PPT课件,*,第九章 常微分方程,9.1,微分方程的基本概念,9.2,可分离变量的微分方程,9.3,一阶线性微分方程,1,PPT课件,第九章 常微分方程9.1 微分方程的基本概念 9.,利用函数关系可以对客观事物作定量分析,.,但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观,含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为,对它进行研究确定出未知,实际上就解决了最,不能直接找出所需要的函数关系,只能列出,把这样的,牛顿和莱布尼茨,求解问题,.,微分方程,.,规律,函数的过程就是,确定的微积分运算的互逆性,简单的,微分方程,解微分方程,.,2,PPT课件,利用函数关系可以对客观事物作定量分析.但在许多实际问题中,而,解,例,几何问题,平面上一条曲线,任意一点切线的斜率等于,这点的纵坐标,求这曲线的方程,.,9.1,微分方程的基本概念,设所求曲线为,可以验证,满足这个方程,其中C为任意常数.,3,PPT课件,解例 几何问题平面上一条曲线,任意一点切线的斜率等于这点的纵,解,设所求函数为,例 自由落体运动,一个物体在没有空气阻力的情况下,从某一高处放手下落时的速度与下落时间成正比,求该物,体下落距离与时间的函数关系,.,则有,其中k为常数，,进一步有,4,PPT课件,解设所求函数为 例 自由落体运动 一个物体在没有空气,如,含有未知函数的导数,(,或微分,),的方程称为,未知函数是一元函数的方程为,方程中所出现的导数的最高阶数称为,微分方程,.,常微分方程,;,未知函数是多元函数的方程为,偏微分方程,.,微分方程的阶,.,一阶,一阶,二阶,一阶,一般的,n,阶微分方程为,或已解出最高阶导数,定义,9.1,5,PPT课件,如含有未知函数的导数(或微分)的方程称为未知函数是一元函数的,代入微分方程能使方程成为恒等式的,函数,称为,微分方程的解,.,微分方程的解的分类,(1),通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意,常数的个数与微分方程的阶数相同,.,(2),特解,确定了通解中任意常数以后的解,.,如方程,通解,通解,特解,特解,6,PPT课件,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.微分方,初始条件,用来确定任意常数的附加条件,.,如前例,一阶方程,二阶方程,的初始条件表示为,的初始条件表示为,即为初始条件，,7,PPT课件,初始条件用来确定任意常数的附加条件.如前例,一阶方程二阶方程,对于方程：,(,或,),左右两端同时求不定积分,，得到通解：,对于,不易求积分，,两端同时求积分，,则,启示：,如果方程可以化为两端只含一个变量的形式，则可以两端分别积分求解方程,.,9.2,可分离变量的微分方程,引例：,8,PPT课件,对于方程：(或,如果一阶微分方程可以写为：,特点：,方程的一端只含有变量,y,，一端只含有变量,x,方程称为,可分离变量的方程,。,可分离变量的微分方程,9,PPT课件,如果一阶微分方程可以写为：特点：方程的一端只含有变量y，一端,如果函数,g,(,y,),和,f,(,x,),都连续，则可以左右两端同时求不定积分,.,其中，,G,(,y,),、,F,(,x,),是,g,(,y,),、,f,(,x,),的原函数,C,为常数。,分离变量法,得到：,称为微分方程的隐式通解,.,可分离变量的微分方程 的解法,:,10,PPT课件,如果函数g(y)和f(x)都连续，则可以左右,解,通解为,.,ln,的通解,求方程,y,y,y,x,=,例,11,PPT课件,解通解为.ln的通解求方程yyyx=例11PPT课件,例,求微分方程,的特解,.,解：,分离变量，得,两边积分，得,即,方程的通解,12,PPT课件,例 求微分方程 的特解.解：分离变量，得两边积分，得即方程,把,代入通解，,整理后得到,特解,:,方程的通解,:,得到,例,求微分方程,的特解,.,13,PPT课件,把 代入通解，整理后得到特解:方程的通解:得到例 求微分,分析,有两种方法,其一，,将所给选项代入关系式直接验算，,(,B,),正确,.,其二，,对积分关系式两边求导化为微分方程,并注,意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程,所应满足的初始条件,.,练习,一阶微分方程,考研数学,3,分,14,PPT课件,分析有两种方法其一，将所给选项代入关系式直接验算，(B)正确,解,可分离变量方程,两边积分,由原关系式,得,得,分离变量,一阶微分方程,2,ln,d,2,),(,2,0,两边求导,将关系式,+,=,t,t,f,x,f,x,15,PPT课件,解可分离变量方程两边积分由原关系式得得分离变量一阶微分方程,一阶线性微分方程,的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的,;,非线性的,.,齐次的,;,非齐次的,.,线性,一阶,自由项,9.3,一阶线性微分方程,16,PPT课件,一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为如线性的;,齐次方程,的通解为,1.,线性,齐次,方程,一阶线性,微分方程的,解法,(,使用分离变量法,),(C,1,为任意常数,),一阶微分方程,ln,d,),(,|,|,ln,1,C,x,x,P,y,+,-,=,17,PPT课件,齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使,2.,线性,非齐次,方程,线性,齐次,方程是线性,非齐次,方程的特殊情况,.,设想,非齐次,方程,待定函数,线性,齐次,方程的通解是,一阶微分方程,的解是,18,PPT课件,2.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.,从而,C,(,x,),满足方程,一阶微分方程,19,PPT课件,从而C(x)满足方程一阶微分方程19PPT课件,即,一阶线性非齐次,微分方程的通解为,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为,待定函数的方法,.,一阶微分方程,.,),(,),(,d,d,的解,是,x,Q,y,x,P,x,y,=,+,20,PPT课件,即一阶线性非齐次微分方程的通解为常数变易法把齐次方程通解中的,用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程,得到通解公式：,注,解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，,也可以用,常数变易法,.,21,PPT课件,用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程得到通解公式：注,解,例,一阶线性非齐次方程,一阶微分方程,22,PPT课件,解例一阶线性非齐次方程一阶微分方程22PPT课件,解,例,第一步：先解对应的齐次线性方程,分离变量,两端积分,即：,第二步：将常数变易为函数,两端求导,代入得,积分得,第三步：代入,令,得通解,23,PPT课件,解例第一步：先解对应的齐次线性方程分离变量两端积分即：第二步,解,积分方程,一阶微分方程,例,如图所示,平行于,y,轴的动直线被曲线,y,=,f,(,x,),阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程,即,截下的线段,PQ,之长,数值上等于,求曲线,y,=,f,(,x,).,),0,(,3,=,x,x,y,与,24,PPT课件,解 积分方程一阶微分方程例如图所示,平行于y 轴的动直线被,所求曲线为,一阶微分方程,25,PPT课件,所求曲线为一阶微分方程25PPT课件,9.4,微分方程的应用问题,例,把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度处的气压成正比”所含关系表示出来,.,解：,设大气压,P,和高度,x,之间的函数关系为,第一步，设未知函数：,大气压随高度变化的速率为,第二步，根据条件写出方程,第三步，取比例系数为正：,26,PPT课件,9.4 微分方程的应用问题例 把“大气压随高度变化而降低,用微分方程解决实际问题，是微积分的重要应用,.,用,实际问题检验该模型，如果存在问题，则需研究，改进模型,.,（,1,）,分析问题，根据实际问题的规律建立微分方程,，,并提出初始条件,.,这个过程称为,这一步要求掌握和利用相关的自然科学知识及基本规律,.,（,2,）,求微分方程的通解，然后利用初始条件求特解,.,（,3,）,检验改进模型，,具体步骤是：,建立数学模型,.,观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，,27,PPT课件,用微分方程解决实际问题，是微积分的重要应用.用实际问题检验,例 冷却问题,将一个温度为,50,的物体，放在,20,的恒温,环境中冷却，求物体温度变化的规律,.,解,冷却定律：,冷却的速率与温差,成正比,.,”,“,温度为,T,的物体，在温度为 的环境中,设物体的温度,T,与,时间,t,的函数关系为,根据冷却定律，有,为比例常数,.,因为在温度大于,20,时，温度随时间,t,的增加,而降低，,得到,初始条件是,28,PPT课件,例 冷却问题 将一个温度为50的物体，放在20的恒温解,可分离变量,的微分方程,求出,通解：,代入上式，,求出,得到物体温度的变化规律是,29,PPT课件,可分离变量的微分方程求出通解：代入上式，求出得到物体温度,例,一电动机开动后，每分钟温度提高,10,，同时按温度,冷却规律散发热量,.,假设电动机在一个保持,15,恒温的房,子里，求电动机温度与时间的函数关系,.,解：,设电动机温度与时间的函数关系是,电动机温度增高的速率电动机温度降低的速率,.,电动机温度增高的速率,降低的速率,初始条件为,得微分方程及初始条件,一阶线性非齐次微分方程,30,PPT课件,例 一电动机开动后，每分钟温度提高10，同时按温度解：设,关于物质总量问题的模型,物质总量变化率,=,物质进入容器的速率,物质离开容器的速率,研究一个容器内物质总量随时间,变化的情况，目标是,测定某一时刻,t,，物质在容器中的总量,.,此类模型的依据：,31,PPT课件,关于物质总量问题的模型物质总量变化率=物质进入容器的速率,例 物质总量,一个池内有,100,的水，现用浓度为,2,以,3,秒的速度注入池内，同时被搅,拌均匀的混合,溶液以相同的速度流出,.,求任一时刻,t,池内,盐的含量,.,的盐溶液，,解：,设任一时刻,t,池,内盐的总量,为,则,盐的总量随时间变化的速率,为,盐进入容器的速率,为,在任一时刻,t,池内盐的含量为,盐离开容器的速率,：,则浓度是,混合溶液以,3,的速率离开，,所以盐离开池内的速率是,32,PPT课件,例 物质总量 一个池内有100 的水，现用浓度为2 以3,解得,初始条件是,代入求出,因此池内盐关于时间,t,的函数是,根据上面所述模型的依据，得到,盐进入容器的速率,为,盐离开池内的速率,33,PPT课件,解得 初始条件是 代入求出 因此池内盐关于时间t的函数是根,一、可降阶的高阶微分方程,9.7,二阶微分方程简介,1,、型的方程,特点,左端为二阶导数，右端不含有,y,.,解法,将这两个等式,则方程变为,这是一个关于变量,x,z,的,一阶,微分方程,.,如果其通解为,则由,再积分一次,可求出原方程的通解,代入到方程,令,34,PPT课件,一、可降阶的高阶微分方程9.7 二阶微分方程简介1、,例,解微分方程,该二阶微分方程的特点是,缺含未知函数,的项,.,解法：,代入原方程得到,可分离变量的微分方程,求出解,再积分，得,-,通解,设,先降阶为一阶微分方程，,解,35,PPT课件,例 解微分方程 该二阶微分方程的特点是缺含未知函数,特点,解法,方程缺自变量,x,2,、型的方程,则,方程变成,这是关于变量,y,z,的,一阶方程,.,设它的通解为,分离变量并积分,得通解为,设,将,z,看成是以,y,为中间变量的,x,的函数,.,36,PPT课件,特点解法方程缺自变量x 2、,例,解微分方程,特点,：,缺含自变量 的项，,解法：,先降阶为一阶微分方程.,设,这时,成为中间变量,，,有,将,代入原方程得到,37,PPT课件,例 解微分方程 特点：缺含自变量 的项，解,设,得到,求出解,即,再积分，,即为所求的通解,.,的解）,.,得到,（通解包含了,38,PPT课件,设 得到 求出解即 再积分，即为所求的通解.的解）.得到（,二、二阶常系数线性方程,1,