,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章随机变量的分布与数字特征,第1页,第1页,2.4随机变量的数字特征,第2页,第2页,一、随机变量数字盼望,1、离散型随机变量数学盼望,例2.24,一个年级有100个学生，年龄构成为:17岁2人;18岁2人;19岁30人20岁56人;21岁10人,求该年级学生平均年龄。,第3页,第3页,定义2.13,设,是离散型随机变量概率分布为,假如,绝对收敛，,则定义,数学盼望,（又称,均值,）为,第4页,第4页,例,甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们分布律分别为,试评估他们成绩好坏.,解,我们来计算,数学盼望,得,(分).,这意味着,假如甲进行很多次射击,那么,所,得分数算术平均就靠近 1.8.,第5页,第5页,例,甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们分布律分别为,试评估他们成绩好坏.,解,而乙所得分数,数学盼望为,很明显,乙成绩远不如甲成绩,.,第6页,第6页,例2.25,一批产品有一、二、三等品及废品共4级，相应百分比为60%,20%,10%,10%若各等级产品产值分别为6元,5.5元,4元及-1元，求产品平均产值，,解,设一个产品产值为X元，依题意，X概率分,布如图,X,-1 4 5.5 6,p,0.1 0.1 0.2 0.6,（元）,第7页,第7页,例2.26,已知盒内有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中一次摸出3个球，计算摸到白球个数X数学盼望EX。,解:,X,只取、1、2各值，,依据古典概型公式,容易求出各概率值：,第8页,第8页,例2.27,设甲袋内有3个白球与3个黑球，乙袋内有3个白球，现从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋。求,（1）乙袋内黑球个数X数学盼望；,（2）从乙袋内再任取一球是黑球概率,解,（1）X只取0、1、2、3各值,第9页,第9页,因此,计算出概率得X概率分布为,第10页,第10页,（2）,设事件B=“从乙袋内任摸一球为黑球”由于事件B发生概率与乙袋内黑球个数也就是从甲袋中取出黑球个数相关，,是一个完备事件组，,依据全,概率公式,第11页,第11页,补例1,掷一枚骰子，,X,表示出现点数，求,EX,.,解：,X,1 2 3 4 5 6,P,1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,EX,=1,1/6+2,1/6+3,1/6+4,1/6+5,1/6+6,1/6,=3.5,补,例2,设,X,分布律为,X,-1 0 1,P,0.3 0.2 0.5,求,EX,.,解：,EX,=-1,0.3+0,0.2+1,0.5,=0.2,练习：,X,-1 0 1 2,P,0.2 0.3 0.1 0.4,求,EX,.,第12页,第12页,2、连续型随机变量数学盼望,定义2.14,设,是连续型随机变量，,其密度函数为,假如,绝对收敛，,定义,数学盼望,为,第13页,第13页,例,已知随机变量,分布函数,求,解,随机变量,分布密度为,故,第14页,第14页,解,求,EX,例2.28,设随机变量X概率密度函数为,其它,第15页,第15页,补例,设随机变量,且,求,与,值,解,由题意知,解方程组得,第16页,第16页,例2.29,设随机变量X概率密度函数为,其它,求,EX,解,第17页,第17页,第18页,第18页,例2.30,设随机变量X概率密度函数为,讨论EX存在性,解,因此EX不存在,此例阐明,，并不是所有随机变量盼望都是存在,第19页,第19页,、随机变量函数数学盼望,设,x,是一个随机变量，,g,(,x,),是,x,一个实值函数,假如当随机变量X取,x,值，,另一个随机变量Y取值g(,x,),则称随机变量Y是X函数，,记作g(,x,).,假如一个函,这个函数本身也是随机变量且它,是作为自变量是随机变量函数。,这里我们首先讨论如何依据随机变量X分布计,算X函数Y=g(,x,),数学盼望,数自变量，那么,第20页,第20页,定理2.8,设,是一个随机变量，,且,存,在,于是,(1),若,为离散型随机变量，,其概率分布为,则,数学盼望为,(2),若,为连续型随机变量，,其概率密度为,则,数学盼望为,第21页,第21页,推论,（1）对于任意实数,a,，E,a,=,a,。,（2）假如EX存在，对任意实数,a,，都有,（3）若 盼望都存在，则对任意实数,都有,尤其,第22页,第22页,例2.31,设随机变量X概率分布由表所表示,X,1 2 3 4,P,0.4 0.3 0.2 0.1,解,第23页,第23页,例2.32,是随机变量X服从期间,a,b,上均匀分布，求EX与 .,解,依题意，X概率密度函数为,其它,第24页,第24页,例2.33,设X服从期间 上均匀分布,求,解,依题意，X概率密度函数为,其它,第25页,第25页,引例：,既有甲、乙两位射手，甲射手射击中命,中环数用X表示，乙射手射击中命中环数用Y,表示，甲、乙两射手射击中命中环数分布分别,为：,现在问甲、乙两位射手谁射击水平更稳定些？,第26页,第26页,二、随机变量方差,定义2.15,设随机变量X平方数学盼望存在,即,则称,为随机变量,X,方差,，,称,为X,原则差,.,依据随机变量函数盼望公式，若离散型随机变,量X概率函数为,则,若连续性随机变量X概率密度函数为,则,第27页,第27页,2、方差性质,设随机变量X方差DX存在，则对任意实数,a,，都有,（1）,（2）,（3）,尤其,（5）,（4）,第28页,第28页,例2.35,X表示掷一颗均匀骰子掷出点数求X盼望和方差。,解：,X,1 2 3 4 5 6,P,1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,第29页,第29页,例2.36,设连续型随机变量X概率密度函数为,其它,求X方差DX,因此,第30页,第30页,例2.39,已知随机变量X服从二项分布,且 ,求X概率函数与分布函数.,解,解得,q,=0.2，,p,=1-,q,=0.8，,n,=3,于是X概率函数与分布函数分别是,X,0 1 2 3,P,0.008 0.096 0.384 0.512,第31页,第31页,第32页,第32页,例2.40,设随机变量X服从盼望为1指数分布，,求概率,解,由于,第33页,第33页,例2.41,设随机变量X服从盼望值为0，方,差为 正态分布,已知,求 值。,解,设X分布函数为F(,x,),则,依据题设条件,查正态分布表知,第34页,第34页,四、随机变量矩,定义2.16,设X是一个随机变量,假如,则称,为X,n,阶原点矩,为X,n,阶中心矩,第35页,第35页,