,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,n,阶行列式的定义,二阶与三阶行列式,排列与逆序,n,阶行列式的定义,一、二阶与三阶行列式,二元线性方程组,由消元法，得,当 时，该方程组有唯一解,1,.,二阶行列式,求解公式,为,二元线性方程组,请观察，此公式有何特点？,分母相同，由方程组的四个系数确定,.,分子、分母都是四个数分成两对相乘再,相减而得,.,其求解公式为,二元线性方程组,我们引进新的符号来表示“,四个数分成两对相乘再相减,”,.,记号,数表,表达式 称为由该,数表所确定的,二阶行列式,，即,其中，称为,元素,.,i,为,行标,，表明元素位于第,i,行；,j,为,列标,，表明元素位于第,j,列,.,二元线性方程组,若令,(,方程组的系数行列式,),则上述二元线性方程组的解可表示为,2.,三阶行列式,定义,对于有,9,个元素 排成,3,行,3,列的式子,记,称为,三阶行列式,.,主对角线,副对角线,三阶行列式的计算,对角线法则,注意：,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,.,实线上的三个元素的乘积冠正号，,虚线上的三个元素的乘积冠负号,.,例,1,计算行列式,解,按对角线法则，有,方程左端,解,由 得,例,2,求解方程,二、排列与逆序,定义,由正整数 组成的一个没有重复数字的,n,元有序数组，称为一个,n,级排列，简称,排列,，记为 。,例如,4231,653412,1523,是一个,4,级排列,是一个,6,级排列,不是一个排列,n,个不同的自然数，规定从小到大为标准次序,.,定义,在一个,n,级排列 中，如果数 ，,则称数 与 构成一个,逆序,。在一个,n,级排列中，逆序,的总数称为该排列的,逆序数,，记为,例如 在排列,32514,中，,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,思考题：,还能找到其它逆序吗？,答：,2,和,1,，,3,和,1,也构成逆序,.,计算排列的逆序数的方法,则此排列的逆序数为,设 是,1,2,n,这,n,个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。,先看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ；,再看有多少个比 大的数排在 前面，记为,;,最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为,;,例,1,：,求排列,32514,的逆序数,.,解：,练习：,求排列,453162,的逆序数,.,解：,因为,3,排在首位，故其逆序的个数为,0,；,在,2,的前面比,2,大的数有,1,个，故其逆序的个数为,1,；,在,5,的前面比,5,大的数有,0,个，故其逆序的个数为,0,；,在,1,的前面比,1,大的数有,3,个，故其逆序的个数为,3,；,在,4,的前面比,4,大的数有,1,个，故其逆序的个数为,1,。,易见所求排列的逆序数为,定义,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,；逆序数为奇数的排列称为,奇排列,。,定义,把一个排列 中某两个数 ，的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列 ，这样的变换称为一个,对换,，记为 。,将两个相邻元素对换，称为相邻对换,定理,1,任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。,即,经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。,证明：,第一种情形。,先看相邻对换的情况,设排列为 ，对换 与 ，变为,显然，,这些元素的逆序数经过对换并不改变，,与 两元素的逆序数改变为：,当 时，,经对换后 的逆序数增加,1,而 的逆序数不变；,当 时，,经对换后 的逆序数不变而 的逆序数减少,1,；,所以，,排列 与排列 的奇偶性改变。,第二种情形。,再看一般情况。,设排列为 ，对它做 次相邻对换，变成,再做 次相邻对换，变成,总之，经 次相邻对换，排列 变成,所以这两个排列的奇偶性改变。,定理,2,个自然数 共有 个 级排列，其中奇偶排列各占一半。,证明,级排列的总数为 个。,设其中奇排列为 个，偶排列为 个。,若对每个奇排列都做同一对换，则由定理,1,，,个奇排列均变成偶排列，故 ；,同理，对每个偶排列做同一变换，则,个偶排列均变成奇排列，故 。,从而，,三、,n,阶行列式的定义,规律：,三阶行列式共有,3!,项。,每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。,每项的符号取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号。,所以，三阶行列式可以写成,其中 表示对所有,3,级排列求和,。,二阶行列式有类似规律,。,下面将行列式推广到一般的情形,定义,由 个元素 排成,n,行、,n,列构成的记号：,简记作 ，,其中 为行列式,D,的,(,i,j,),元,称为,n,阶行列式,，其中 表示对所有,n,阶排列,求和。,规律,n,阶行列式共有,n,!,项,每项都是取自不同行不同列的,n,个元素的乘积，每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：,3.,若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中,是指项的符号，且列序构成,n,级排列 ，若此排列为奇排列则此项取负号，若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负。,思考题：,成立,吗？,答：,符号 可以有两种理解：,若理解成绝对值，则 ；,若理解成一阶行列式，则,.,注意：,当,n,=1,时，一阶行列式,|,a,|=,a,，注意不要与绝对值的记号相混淆,.,例如：一阶行列式,.,例如,所表示的代数和中有,4,！,=24,项,。,行标排列为,1234,，元素取自不同行；列标排列为,1234,，元素取自不同列，且逆序数,即元素乘积 前面应冠以正号，所以 为,D,的一项。,行标排列为,1234,，元素取自不同行；列标排列为,4312,，元素取自不同列，且逆序数,即排列,4312,为奇排列，所以元素乘积 前面应冠以负号，所以 为,D,的一项。,有两个元素取自第四列，所以它不是,D,的一项。,定理,3,n,阶行列式也可以定义为,证明,按行列式定义有,记,由上面讨论知：,对于 中任一项 ，总有且仅,有 中某一项 与之对应并相等,于是，,与 中的项可以一一对应并相等。,从而，,例,1,计算,n,阶行列式,的值，其中,解,记行列式的一般项为,中有很多项为零，现在考察有哪些项不为零。,一般项中第一个元素 取自第一行，但第一行中只有 不为零，因而 ，即 中只有含有 的那些项可能不为零，其他项均为零；,一般项中第二个元素 取自第二行，第二行中有 和 不为零，因第一个元素 已取自第一列，因此第二个元素不能再取自第一列，即不能取 ，所以第二个元素只能取 ，从而 ，即 中只有含 的那些项可能不为零，其他项均为零；,这样推下去，可得 ，,，。,因此，中只有 这一项不为零，其他项均为零。,由于 ，因此这一项应取正号，于是可得,下三角形行列式,同理,上三角形行列式,特殊情况：,(1),对角行列式,行列式中从左上角到右下角的对角线称为,主对角线,由行列式定义不难得出：一个行列式若有一行（或一列）中的元素皆为零，则此行列式必为零,(2),(3),例,2,计算行列式,解,一般项为 ，,现考察不为零的项。,取自第一行，,同理可得，。,即行列式中不为零的项只有,所以，,但第一行只有 ，故只可能 。,例,3,已知 是六阶行列式中的一项，求 并确定该项的符号。,解,由行列式的定义可知，,行列式的每一项的元素均取自不同行、不同列，,所以有，,再将该项的行标按自然数的顺序排好，得,列标的逆序数为,为偶排列。,故此项符号为正号。,例,4,利用行列式计算,解,所以,