单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,6,.,3,等比数列及其前,n,项和,6.3等比数列及其前n项和,-,2,-,知识梳理,考点自诊,1,.,等比数列的定义,一般地,如果一个数列从,起,每一项与它的前一项的比等于,常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母,q,(,q,0),表示,.,2,.,等比数列的通项公式,设等比数列,a,n,的首项为,a,1,公比为,q,则它的通项,a,n,=,.,3,.,等比中项,如果,成等比数列,那么,G,叫做,a,与,b,的等比中项,即,G,是,a,与,b,的等比中项,a,G,b,成等比数列,.,4,.,等比数列的前,n,项和公式,等比数列,a,n,的公比为,q,(,q,0),其前,n,项和为,S,n,当,q=,1,时,S,n,=na,1,;,第二,项,同一,个,公比,a,1,q,n-,1,a,G,b,G,2,=ab,-2-知识梳理考点自诊1.等比数列的定义第二项 同一个 公比,-,3,-,知识梳理,考点自诊,设数列,a,n,是等比数列,S,n,是其前,n,项和,.,(1),若,m+n=p+q,则,a,m,a,n,=a,p,a,q,;,若,2,s=p+r,则,其中,m,n,p,q,s,r,N,+,.,(2),a,k,a,k+m,a,k+,2,m,仍是等比数列,公比为,q,m,(,k,m,N,+,),.,(3),若数列,a,n,b,n,是两个项数相同的等比数列,则数列,ba,n,pa,n,qb,n,和,也是等比数列,.,-3-知识梳理考点自诊设数列an是等比数列,Sn是其前n,-,4,-,知识梳理,考点自诊,-4-知识梳理考点自诊,-,5,-,知识梳理,考点自诊,1,.,判断下列结论是否正确,正确的画,“,”,错误的画,“,”,.,(1),满足,a,n+,1,=qa,n,(,n,N,+,q,为常数,),的数列,a,n,为等比数列,.,(,),(2),G,为,a,b,的等比中项,G,2,=ab.,(,),(3),等比数列中不存在数值为,0,的项,.,(,),(4),如果,a,n,为等比数列,b,n,=a,2,n-,1,+a,2,n,那么数列,b,n,也是等比数列,.,(,),(5),如果数列,a,n,为等比数列,那么数列,ln,a,n,是等差数列,.,(,),(6),若数列,a,n,的通项公式是,a,n,=a,n,则其前,n,项和为,(,),-5-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“,-,6,-,知识梳理,考点自诊,D,3,.,(2018,山东济南外国语学校月考,),已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,a,1,=,1,S,n+,1,=S,n,+,2,a,n,则,a,10,=,(,),A.511B.512C.1 023D.1 024,B,解析,:,S,n+,1,-S,n,=a,n+,1,=,2,a,n,即,a,n,是以,2,为公比的等比数列,a,10,=a,1,2,9,=,2,9,=,512,故选,B,.,-6-知识梳理考点自诊D3.(2018山东济南外国语学校月考,-,7,-,知识梳理,考点自诊,4,.,(2018,湖南长郡中学三模,5),设,a,n,是公比,q,1,的等比数列,若,a,2 010,和,a,2 011,是方程,4,x,2,-,8,x+,3,=,0,的两根,则,a,2 012,+a,2 013,=,(,),A.18B.10C.25D.9,5,.,(2018,贵州黔东南一模,),等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,若公比,q=,8,S,2,=,18,则,(,),A.8,S,n,=,7,a,n,+,2B.8,S,n,=,7,a,n,-,2,C.8,a,n,=,7,S,n,+,2D.8,a,n,=,7,S,n,-,2,A,C,解析,:,用特殊值排除法,.,由题意,S,2,=a,1,+a,1,q=,18,所以,a,1,=,2,则,B,、,D,错误,;,又,a,2,=,16,所以,8,a,2,=,128,=,7,S,2,+,2,则,A,错误,C,正确,.,-7-知识梳理考点自诊4.(2018湖南长郡中学三模,5)设,-,8,-,知识梳理,考点自诊,6,.,设等比数列,a,n,的公比为,q,前,n,项和为,S,n,则,“,|q|=,1”,是,“,S,4,=,2,S,2,”,的,条件,.,充,要,解析,:,S,4,=,2,S,2,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=,2(,a,1,+a,2,),a,3,+a,4,=a,1,+a,2,q,2,=,1,|q|=,1,所以,“,|q|=,1”,是,“,S,4,=,2,S,2,”,的充要条件,.,-8-知识梳理考点自诊6.设等比数列an的公比为q,前n,-,9,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,等比数列的,基本运算,A,-9-考点1考点2考点3考点4等比数列的基本运算A,-,10,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,-10-考点1考点2考点3考点4,-,11,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,思考,解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些,?,解题心得,解决等比数列有关问题的常见思想方法,:,(1),方程思想,:,等比数列中有五个量,a,1,n,q,a,n,S,n,一般可以,“,知三求二,”,通过列方程,(,组,),求关键量,a,1,和,q,问题可迎刃而解,.,(2),分类讨论思想,:,因为等比数列的前,n,项和公式涉及对公比,q,的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为,1,进行分类求和,.,(3),整体思想,:,应用等比数列前,n,项和公式时,常把,q,n,或,当成整体进行求解,.,-11-考点1考点2考点3考点4思考解决等比数列基本运算问题,-,12,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,A,-8,-12-考点1考点2考点3考点4A-8,-,13,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,等比数列的判定与证明,例,2,(2018,全国,1,文,17),已知数列,a,n,满足,a,1,=,1,na,n+,1,=,2(,n+,1),a,n,.,设,(1),求,b,1,b,2,b,3,;,(2),判断数列,b,n,是否为等比数列,并说明理由,;,(3),求,a,n,的通项公式,.,-13-考点1考点2考点3考点4等比数列的判定与证明,-,14,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,思考,判断或证明一个数列是等比数列的方法有哪些,?,解题,心得,1,.,证明数列,a,n,是等比数列常用的方法,:,(3),通项公式法,若数列通项公式可写成,a,n,=cq,n-,1,(,c,q,均是不为,0,的常数,n,N,+,),则,a,n,是等比数列,.,2,.,若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可,.,-14-考点1考点2考点3考点4思考判断或证明一个数列是等比,-,15,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,对点训练,2,(2018,黑龙江哈尔滨期中,),已知数列,a,n,中,a,1,=,3,其前,n,项和,S,n,满足,:,S,n,=a,n+,1,+n-,3,.,求证,:,数列,a,n,-,1,是等比数列,.,-15-考点1考点2考点3考点4对点训练2(2018黑龙江哈,-,16,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,等比数列性质的应用,(,多考向,),考向,1,等比数列项的性质的应用,例,3,(1)(2018,湖北重点高中联考,),等比数列,a,n,的各项均为正数,且,a,1 007,a,1 012,+a,1 008,a,1 011,=,18,则,log,3,a,1,+,log,3,a,2,+,+,log,3,a,2 018,=,(,),A.2,017B.2 018C.2 019D.2 020,(2)(2018,衡水中学押题一,3),在等比数列,a,n,中,“,a,4,a,12,是方程,x,2,+,3,x+,1,=,0,的两根,”,是,“,a,8,=,1”,的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,思考,经常用等比数列的哪些性质简化解题过程,?,B,D,-16-考点1考点2考点3考点4等比数列性质的应用(多考向),-,17,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,解析,:,(1),a,1,007,a,1,012,=a,1,008,a,1,011,a,1,007,a,1,012,+a,1,008,a,1,011,=,2,a,1,007,a,1,012,=,18,a,1,007,a,1,012,=a,1,a,2,018,=,9,log,3,a,1,+,log,3,a,2,+,+,log,3,a,2,018,=,log,3,9,1,009,=,2,018log,3,3,=,2,018,故选,B,.,(2),由韦达定理知,a,4,+a,12,=-,3,a,4,a,12,=,1,a,4,0,a,12,0,a,8,=a,4,q,4,0,所以舍去,S,3,=,90,.,故答案为,10,.,-18-考点1考点2考点3考点4考向2等比数列前n项和的性,-,19,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,思考,本题应用什么性质求解比较简便,?,解题心得,1,.,在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质,:,(1),通项公式的推广,:,a,n,=a,m,q,n-m,;,(2),等比中项的推广与变形,:,=a,m,a,n,(,m+n=,2,p,),及,a,k,a,l,=a,m,a,n,(,k+l=m+n,),.,2,.,对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为,-,1,的等比数列前,n,项和的性质,:,S,n,S,2,n,-S,n,S,3,n,-S,2,n,仍成等比数列比较简便,.,-19-考点1考点2考点3考点4思考本题应用什么性质求解比较,-,20,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,对点训练,3,(1)(2018,河北衡水中学金卷一模,4),已知等比数列,a,n,中,a,2,a,3,a,4,=,1,a,6,a,7,a,8,=,64,则,a,5,=,(,),A.,2B.,-,2C.2D.4,(2),各项均为正数的等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,若,S,4,=,10,S,12,=,130,则,S,8,=,(,),A.,-,30B.40C.40,或,-,30D.40,或,-,50,(3)(2018,湖南长郡中学模拟二,),已知数列,a,n,的首项为,3,等比数列,b,n,满足,且,b,1 009,=,1,则,a,2 018,的值为,.,C,B,3,-20-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)(2018河,-,21,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,-21-考点1考点2考点3考点4,-,22,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,等差、等比数列的综合,问题,(2)(2018,衡水中学一模,15),在等比数列,a,n,中,a,2,a,3,=,2,a,1,且,a,4,与,2,a,7,的等差中项为,17,设,b,n,=a,2,n-,1,-a,2,n,n,N,+,则数列,b,n,的前,2,n,项和为,.,D,-22-考点1考点2考点3考点4等差、等比数列的综合问题(2,-,23,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,-23-考点1考点2考点3考点4,-,24,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,思考,解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的,?,解题心得,等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量,a,1,d,(,q,),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题,.,-24-考点1考点2考点3考