第二十四章 圆,24.4,弧长和扇形面积,九年级数学,上 新课标,人,第二十四章 圆24.4 弧长和扇形面积九年级数,1,解析,点,P,运动的路径长为圆心角为,60,，半径分别为,12,，,10,，,8,，,6,，,4,，,2,的扇形弧长的和，即路径长为：,应用弧长公式解决运动轨迹问题,(,日照中考,),如图,24-130,所示，正六边形,ABCDEF,是边长为,2,cm,的螺母，点,P,是,FA,延长线上的点，在,A,，,P,之间,拉一条长为,12,cm,的无伸缩性细线，一端固定在点,A,，,握住另一端点,P,拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母,上,(,缠绕时螺母不动,),，则点,P,运动的路径长为,(,),A,.13,cm,B,.14,cm,C,.15,cm,D,.16,cm,【,解题归纳,】,对整个运动过程进行分析，弄清点,P,所走过的路线，关键是要确定每一次旋转的旋转中心及旋转半径，正确画出路径，找出半径的变化规律，然后运用弧长公式求出几段路径的弧长之和,.,B,解析点P运动的路径长为圆心角为60，半径分别为1,2,1.,(,兰州中考,),如图所示，在,ABC,中，,ACB,=90,，,ABC,=30,，,AB,=2,，将,ABC,绕直角顶点,C,逆时针旋转,60,得,A,B,C,，则点,B,转过的路径长为,(,),提示,:,在,ABC,中，,ACB,=90,，,ABC,=30,，,AB,=2,，可得,AC,=1,，由勾股定理可得,BC,=,，由旋转知点,B,转过的路径是一段圆弧，其所对的圆心角为,60,，利用弧长公式得,.,B,1.(兰州中考)如图所示，在ABC中，ACB=90，,3,求不规则图形的面积,考查角度,1,利用旋转求不规则图形的面积,例,2,(,学科内综合题,),如图,24-131,所示，,ABC,与,ADE,都是等腰直角三角形，,ACB,和,E,都是直角，点,C,在,AD,上，把,ABC,绕点,A,按顺时针方向旋转,n,(0,n,180),度后恰好与,ADE,重合,.,(1),请直接写出,n,的值,；,(2),若,BC,=,，求线段,BC,在上述旋转过程中所扫过的部分的面积,.,解析,(1),AB,和,AD,的夹角是,n,，由,ABC,是等腰直角三角形可求出,n,的值,.(2),如图,24-132,所示，若设,BC,扫过的部分的面积为,S,，则,S,=,S,扇形,ABD,-,S,ABC,+,S,ADE,-,S,扇形,ACE,=,S,扇形,ABD,-,S,扇形,ACE,.,求不规则图形的面积考查角度1利用旋转求不规则图形的面积例2(,4,解,:,(1),n,=45.,(2),设在旋转过程中，线段,BC,所扫过的部分的面积,(,即图,24-132,中阴影部分的面积,),为,S,，,则,S,=,S,扇形,ABD,-,S,ABC,+,S,ADE,-,S,扇形,ACE,.,又,S,ABC,=,S,ADE,，,S,=,S,扇形,ABD,-,S,扇形,ACE,.,在,Rt,ABC,中，,BC,=,，,BAC,=45,，,BCA,=90,，,由勾股定理，可得,AB,=,又,AC,=,BC,=,解:(1)n=45.(2)设在旋转过程中，线段BC所扫过的部,5,2.,(2015,乐山中考,),如图所示，已知,A,(,，,2),，,B,(,，,1),，将,AOB,绕着点,O,逆时针旋转，使点,A,旋转到点,A,(-2,，,),的位置，则图中阴影部分的面积为,.,提示,:,由题意知旋转了,90,，,所以,n,=90,，,通过割补易得,S,阴,=,S,扇形,OAA,-,S,扇形,OBB,=,2.(2015乐山中考)如图所示，已知A(，2,6,考查角度,2,利用整体思想求不规则图形的面积,例,3,如图,24-133,所示，,A,，,B,，,C,两两不相交，且半径均为,1,，则图中三个阴影扇形的面积之和为,(,),A,.,B.,C,.2,D,.,设,A,=,，,B,=,，,C,=,，,A,+,B,+,C,=180,，,阴影部分的面积,=,解析,B,【,解题归纳,】,解决本题的关键不是求出三角形三个内角的度数，而是应用整体思想求出三个内角的和，然后根据扇形面积公式计算,.,考查角度2利用整体思想求不规则图形的面积例3如图24-,7,3.,某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，,2,m,长为半径的扇形区域,(,阴影部分,),种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是,(,),A,.6,m,2,B,.5,m,2,C,.4,m,2,D,.3,m,2,A,3.某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划,8,CD,=.,S,DCO,=,CO,DC,=,，,(2015,鄂尔多斯中考,),如图,24-134,所示，某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花，,AOB,=90,，半径,OA,=4,米，,C,是,OA,的中点，点,D,在 上，,CD,OB,，则图中种植黄花,(,即阴影部分,),的面积是,(,结果保留,).,考查角度,3,利用割补法求阴影部分的面积,例,4,解析,如图,24-135,所示，连接,DO,，,DA,，,AOB,=90,，,CD,OB,，,DCO,=90.,C,是,OA,的中点，,DC,是,AO,的垂直平分线,.,DA,=,DO,.,OD,=,OA,，,AO,=,DO,=,AD,.,AOD,是等边三角形，,DOA,=60.,又在,Rt,DCO,中，,OD,=4,，,OC,=2,，,CD=.SDCO=CODC=,9,S,扇形,OAD,=,，,S,阴影,=,S,扇形,OAD,-,S,DCO,=,【,解题归纳,】,求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，割补法是常用的方法之一，即通过分割或补形，把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差，使复杂问题简单化,.,S扇形OAD=,10,4.,(,泰安中考,),如图所示，半径为,2,cm,，圆心角为,90,的扇形,OAB,中，分别以,OA,，,OB,为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为,(,),C,.1,cm,2,提示,:,如图,95,所示，设以,OB,为直径的半圆的圆心为,O,1,，以,OA,为直径的半圆的圆心为,O,2,，连接,O,1,C,，,O,2,C,，易知,OO,1,=,O,1,C,=,O,2,C,=,OO,2,=1 cm.,又,AOB,=90,，则四边形,O,1,CO,2,O,为正方形，其面积为,1 cm,2,.,A,C.1 cm2提示:,11,解析,CD,AB,，,CD,=,，,AEC,=,OED,=90,，,CE,=,DE,=.,C,=30,，,AOD,=60,，,ODE,=30,，,OE,=,OD,.,考查角度,4,等积变形法求阴影部分的面积,例,5,如图,24-136,所示，,AB,是,O,的直径，弦,CD,AB,于,E,，,C,=30,，,CD,=,，则,S,阴影,等于,(,),A,.,B,.2,C,.,D,.,在,Rt,ODE,中，由勾股定理易得,OD,=2,，,S,扇形,OAD,=.,在,ACE,和,ODE,中，,AEC,=,OED,，,CE,=,DE,，,C,=,ODE,，,ACE,ODE,，,S,阴影,=,S,扇形,OAD,=.,D,解析CDAB，CD=，AEC,12,提示,:,如图,96,所示，连接,OC,，,OD,，,CAD,=30,，,COD,=60.,AB,CD,，,S,ACD,=,S,COD,.,S,阴影,=,S,扇形,OCD,=,5.,如图所示，半圆的直径,AB,=10,，弦,CD,AB,，且,CAD,=30,，则图中阴影部分的面积为,.,提示:如图96所示，连接OC，OD，CAD=30，,13,则,2,2,=,，,n=,120,，即,APA,=,120,，则,APB=,60,.,连接,AB,，,AD,，,则,APB,为等边三角形,.,D,是,PB,的中点，,AD,PB.,AD=,，,蚂蚁爬行的最短路程为,.,利用圆锥的侧面展开图求最短距离,如图,24-137,所示，一圆锥的底面半径为,2,，母线,PB,的长为,6,，,D,为,PB,的中点,.,一只蚂蚁从点,A,出发，沿着圆锥的侧面爬行到点,D,，则蚂蚁爬行的最短路程为,(,),A,.,B,.2,C,.3,D,.3,解析,如图,24-138,所示，将圆锥的侧面展开，由,的长求,APA,的度数，设,APA,的度数为,n,，,例,6,C,则22=，n=120，即A,14,解,:,如图,97,所示,，,将圆锥的侧面展开得到扇形,SA,A,，,则这条公路的最短路程是,AC,的长,.,在,Rt,OBS,中,，,OB=,4,千米,OS=,千米,，,SB=,16,千米,SA=,16,千,米,S,C,=,8,千米,，,=,8,千米,.,设圆心角,AS,A,的度数为,n,，,则,8,=,，,解得,n=,90,，,AS,A,=,90,.,在,Rt,ASC,中,，,AC,=,千米,.,答,:,这条公路的最短路程为,千米,.,6,.,如图所示,有一座大山，大致呈圆锥形,底面半径为,4,千米,山高为,千米,在山坡,SA,中点,C,处有一联络站，要从山脚,A,修一盘山路，绕山坡一周将物资运往,C,处，这条公路的最短路程是多少,?,图,97,解:如图97所示，将圆锥的侧面展开得到扇形SAA，则这条公,15,