,*,*,第,4,章 定积分与不定积分,2,定积分和不定积分是积分学的两个,一种认识问题、分析问题、解决问题的,不定积分侧重于根本积分法的训练,而定积分那么完整地表达了积分思想 ,主要组成局部.,思想方法,.,3,4.1,定积分,的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,关于函数的可积性,定积分的几何意义和物理意义,小结 思考题 作业,定积分的根本性质,*,*,*,definite integral,第,4,章 定积分与不定积分,4,1.,曲边梯形的面积,定积分概念也是由大量的实际问题抽象出,一、,定积分问题举例,来的,现举两例,.,求由连续曲线,y,=,f,(,x,)0,及,直线,x,=,a,x,=,b,和,y,=,0,所围,的曲边,梯形的面积,A,.,4.1,定积分的概念与性质,5,用,矩形面积,梯形面积,.,(,五个小矩形,),(,十个小矩形,),思想,以直代曲,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,近似取代曲边梯形面积,4.1,定积分的概念与性质,6,采取以下四个步骤来求面积 A.,(1),分割,(2),取近似,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,任意用分点,4.1,定积分的概念与性质,7,(3),求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积,A,的近似值,.,(4),求极限,为了得到,A,的精确值,取极限,的面积,:,分割无限加细,极限值就是曲边梯形,4.1,定积分的概念与性质,8,2.,求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,速度v=v(t)是时间,间隔,T,1,T,2,上,t,的一个连续函数,在这段时间内所经过的路程,.,思路,把整段时间分割成假设干小段,每小,段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,.,4.1,定积分的概念与性质,求物体,9,(1),分割,(3),求和,(4),取极限,路程的精确值,(2),取近似,表示在时间区间,内走过的路程,.,某时刻的速度,4.1,定积分的概念与性质,10,二、定积分的定义,设函数,f,(,x,),在,a,b,上有界,在a,b中任意插入假设干个分点,定义,4.1,把区间,a,b,分成,n,个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不管对a,b,(1),(2),(3),(4),上两例共同点,:,2),方法一样,;,1),量具有可加性,3),结果形式一样,.,4.1,定积分的概念与性质,11,被积函数,被积表达式,记为,怎样的分法,也不管在小区间,上点,的取法,只要当,和,S,总趋于确定的极限,I,称这个极限,I,为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的,定积分,.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b,积分区间,4.1,定积分的概念与性质,怎样,积分和,12,(2),结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理,.,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数的,有关,;,注,无关,.,而与积分变量的记号无关,.,4.1,定积分的概念与性质,13,定理,4.1,定理,4.2,或,记为,黎曼 德国数学家,(18261866),三、,关于函数的可积性,上,可积,.,且只有有限个,可积,.,当函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分存在时,可积,.,黎曼可积,间断点,称,f,(,x,),在区间,a,b,上,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,那么 f(x)在a,b,设,f,(,x,),在,a,b,上有界,那么 f(x)在a,b上,充分条件,4.1,定积分的概念与性质,14,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.,几何意义,四、定积分的几何意义和物理意义,4.1,定积分的概念与性质,15,各局部面积的代数和.,取负号,.,它是介于,x,轴、函数,f,(,x,),的图形及两条,直线,x,=,a,x,=,b,之间的,在,x,轴上方的面积取正号,;,在,x,轴下方的面积,几何意义,4.1,定积分的概念与性质,16,例,解,2.,物理意义,t,=,b,所经过的路程,s.,o,x,y,v,=,v,(,t,),作直线运动的物体从时刻,t,=,a,到时刻,定积分,表示以变速,4.1,定积分的概念与性质,17,解,例,用定义计算由抛物线,x,轴所围成的曲边梯形面积,.,直线,x,=,1,和,小区间,的长度,取,4.1,定积分的概念与性质,18,4.1,定积分的概念与性质,19,对定积分的,补充规定,:,说明,五、定积分的根本性质,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,.,4.1,定积分的概念与性质,性质,4.1,用定积分定义,即可证得,.,20,证,(,此性质可以推广到有限多个函数作和的情况,),性质,4.2(),4.1,定积分的概念与性质,21,证,性质,4.2(),性质,4.2(),和,性质,4.2(),称为,线性性质,.,4.1,定积分的概念与性质,22,补充,例,(,定积分对于积分区间具有可加性,),那么,性质,4.3,假设,不管a,b,c的相对位置如何,上式总成立.,4.1,定积分的概念与性质,23,证,性质,4.4,如果在区间,a,b,上,那么,4.1,定积分的概念与性质,所以,因为,因为,所以,所以,24,性质,4.4,的推论,1,证,如果在区间,a,b,上,那么,于是,性质,4.4,如果在区间,a,b,上,4.1,定积分的概念与性质,所以,因为,所以,25,证,性质,4.4,的推论,2,由,性质,4.4,的推论,1,4.1,定积分的概念与性质,26,解,令,于是,比较积分值,和,的大小,.,例,4.1,定积分的概念与性质,所以,因为,所以,27,证,(,此性质可用于估计积分值的大致范围,),性质,4.5,(,估值性质,),设,M,和,m,分别是函数,f,(,x,),在区间a,b上最大值及最小值,那么,4.1,定积分的概念与性质,所以,因为,28,解,估计积分,例,4.1,定积分的概念与性质,29,解,估计积分,4.1,定积分的概念与性质,练习,30,证,由闭区间上连续函数的介值定理,:,性质,4.6,(,定积分中值定理,),如果函数,f,(,x,),在,那么在积分区间a,b上至少存,使下式成立,:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,在,a,b,上,闭区间,a,b,上,连续,4.1,定积分的概念与性质,在一点,所以,因为,31,积分中值公式的几何解释,在区间,a,b,上至少存在一点,使得以区间,a,b,为底边,以曲线,y,=,f,(,x,),为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积,.,4.1,定积分的概念与性质,32,定理用途,注,a,b,上,连续,使下式成立,:,无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求,连续变量的,平均值,要用到,.,如何去掉积分号来表示积分值,.,就是,f,(,x,),在区间,a,b,上的平均值,.,4.1,定积分的概念与性质,性质,4.6,(,定积分中值定理,),假设函数f(x)在闭区间,那么在积分区间a,b上至少存在一点,33,解,例,定积分几何意义,求电动势,在一个周期上的,平均值,4.1,定积分的概念与性质,34,例,证,由,积分中值定理,有,(,a,为常数,).,4.1,定积分的概念与性质,35,3.,定积分的性质,(,注意估值性质、积分中值定理的应用,),4.,典型问题,(1),估计积分值,;,(2)不计算定积分比较积分大小.,六、小结,1.,定积分的实质,:,特殊和式的极限,.,2.,定积分的思想和方法,:,以直代曲、以匀代变,.,四步曲,:,分割、,取近似、,求和、,取极限,.,思想,方法,4.1,定积分的概念与性质,36,思考题,证,夹逼定理,即得,定积分性质,4.1,定积分的概念与性质,37,作业,习题,4.1(93,页,),4.1,定积分的概念与性质,