单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、不定积分的基本概念与性质,1,原函数与不定积分的概念,(1),原函数的定义：,(2),不定积分的定义：,设,为 一个原函数，则,在区间 上，若,则称,是 在 上原函数。,一、不定积分的基本概念与性质1原函数与不定积分的概念(1),1,2,不定积分的性质,(1),线性性质：,(2),微分与积分运算：,2不定积分的性质(1)线性性质：(2)微分与积分运,2,二、基本计算方法,1,直接积分法,首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。,2,第一类换元法（凑微分法）：,设,，则,二、基本计算方法1直接积分法 首先要对被积函数,3,3,第二类换元法（变量置换法）：,第二类换元法：,三角代换,倒代换,简单无理函数代换,注意：式中,回代。,必须单调可导，对,t,作完积分后,要用反函数,3第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：三角代换 倒代,4,5,有理函数的积分法：,积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使,4,分部积分法：,或,变为一次分式和二次分式的代数和。,之变为：“多项式,+,真分式”。对真分式进行分项，使之,5有理函数的积分法：积分法要点：若是假分式,5,6,万能公式法：,如果被积函数是三角函数有理式,则可采用万能公式。,令,则,从而,在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可,以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。,6万能公式法：如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能,6,三、典型例题,、,【,例,1】,设,是,的原函数，,求,解：由于,是,的原函数，,故,令,，则,三、典型例题、【例1】设是的原函数，求解：由于是的原函数,7,【,例,2】,求不定积分,解：利用不定积分的性质,，可知,【,例,3】,求不定积分,解：,【例2】求不定积分解：利用不定积分的性质，可知【例3,8,分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微,然后可利用基本公式。,分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，,【,例,4】,求不定积分,解：,分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微,9,【,例,5】,求不定积分,然后利用凑微分法。,分析：一般情况下首先分母要进行有理化,，,解：,【例5】求不定积分然后利用凑微分法。分析：一般情况下首先分,10,【,例,6】,求不定积分,分析：此题属于,型，故凑,解：,【例6】求不定积分分析：此题属于型，故凑解：,11,【,例,7】,求不定积分,解：,【例7】求不定积分解：,12,【,例,8】,求不定积分,分析：由于被积函数,，不能直接利用,基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数,进行代数恒等变形为：,或,，再想到凑微分：,或,，然后进行计算。,中含有,另外，由于,，不能直接计算，可以考虑,换元,或,，然后再进行计算。,【例8】求不定积分分析：由于被积函数，不能直接利用基本公,13,解法,1,：因为,所以,解法1：因为所以,14,解法,2,：因为,所以,解法,3,：令,则,于是,解法2：因为所以解法3：令,则于是,15,【,例,9】,求不定积分,解法,1,：,(,倒代换）设,则,则,【例9】求不定积分解法1：(倒代换）设则则,16,【,例,10】,求不定积分,解法,2,：,(,三角代换,),设,则,解：,【例10】求不定积分解法2：(三角代换)设则解：,17,【,例,11】,求不定积分,分析：若取,积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，,显然可以利用分部,先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。,解：原式,注意 运算中综合使用不同方法往往更有效,.,。,【例11】求不定积分分析：若取 积分法计算出结果，但如果注,18,【,例,12】,求不定积分,分析：由于被积函数中含有根式,，所以首先要令,把根式去掉，然后选择合适的方法计算。,另外，观察被积表达式的特点，由于,所以可应用分部积分法计算。,【例12】求不定积分分析：由于被积函数中含有根式，所以首先,19,解法,1,：令,，则,所以应用分部积分法,所以,解法1：令，则所以应用分部积分法所以,20,解法,2,：因为,所以应用分部积分法,解法2：因为所以应用分部积分法,21,【,例,13】,求不定积分,解：,【例13】求不定积分解：,22,【,例,14】,求不定积分,分析：设,，则,由于,中含有,和,，所以令,或,去掉根式，然后选择适当的计算方法。,进行恒等变形,然后运用基本积分公式就可以计算。,另外，可对,【例14】求不定积分分析：设，则由于中含有和，所以令或去,23,，于是,解法,2,：因为,所以,，则,解法,1,：令,注：在本题的计算中同样可以选择,其计算的复杂,程度与选择,相同。,，于是解法2：因为所以，则解法1：令注：在本题的计算中同,24,【,例,15】,求不定积分,分析：本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分,的过程中正、负项抵消,.,解：,【例15】求不定积分分析：本题中隐含着不能积分的积分项，,25,【,例,16】,设,的一个原函数为,，求,解：由于,为,的原函数,，故,从而,【例16】设的一个原函数为，求解：由于 为 的原函数，故,26,【,例,17】,求不定积分,把假分式化成一个多项式与一个真分式的和，对真,分析：,由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先,采用拆项积分。,解：,设,即,得,于是,【例17】求不定积分把假分式化成一个多项式与一个真分式的和,27,【,例,18】,求不定积分,分析：,由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次,是一次式,，而分母的导数也是一次式，因此将分,质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子,子变成分母的导数,形式，,所以把分子拆成,和,8,两部分，而分子,可以凑微成,，进而可以计算。,【例18】求不定积分分析：由于被积函数为有理函数且为真分式,28,解：,解：,29,【,例,19】,求不定积分,分析：,(1),由于被积函数为三角函数有理式，所以首先,想到用万能公式计算；,(2),对被积函数进行恒等变形为：,进行计算；,就可以用换元：,再利用,(3),把被积函数进行恒等变形为：,的关系进行计算,.,【例19】求不定积分分析：(1)由于被积函数为三角函数有理,30,解法,1,：令,，则,，于是,解法1：令，则，于是,31,解法,2,：由于被积函数可化为,的函数，可设,则,，于是,解法2：由于被积函数可化为 的函数，可设 则，于是,32,解法,3,：由于,所以,注：,(1),通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。其余的二种解法，很明显解法,3,最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代数和。,(2),在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进行换元或凑微。,解法3：由于所以注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代,33,