平面的基本性质共点共线共面,公理1,如果,一条直线,上的两点在一个平面内，那么这条直线上,所有的点,都在这个平面内,公理2,如果,两个平面,有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。,公理3,经过不在同一条直线上的,三点,，有且只有一个平面,推论1,经过一条直线和这条直线,外,的一点，有且只有一个平面,推论2,经过两条,相交,直线，有且只有一个平面,推论3,经过两条,平行,直线，有且只有一个平面,知识回顾,(2)公理2,：,“共点”、“共线”、“共面”问题,(3)公理3,推论1、2、3,:,、反证法,、理论依据：,(1)公理1,：,判定两平面相交,证点、线共面的依据，,确定平面,也是作辅助面的依据,（“点共线”，“线共点”）,判断或证明直线是否在平面内,确定两个平面的交线，,点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法,1证明,若干点或直线共面,通常有两种思路,（1）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内,（2）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合。,2证明,三点共线,，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内,3证明,三线共点,通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点。,已知：如图1-26，=a，b，c，bcp,求证：pa,证明：bcp，,pb,b，,p,同理，p,又=a，,pa,例、,两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点,证法：先证两条交线交于一点，再证第三条直线也过改点,例2、,如图：在四面体ABCD中，E,F分别,是AB,BC的中点，G,H分别在CD,AD上,且,DG:DC=DH:DA=1:m(m2),求证：直线EH与FG,BD相交于一点,B,A,Q,R,C,P,证明：,同理Q、R也为公共点,所以P、Q、R共线,要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点,例2、,已知,ABC在平面,外，它的的三条边所在直线分别交平面于P、Q、R求证：P、Q、R共线,3.已知:如图,D,E分别是ABC的边AC,BC上的点,平面 经过D,E 两点,(1)求直线AB 与平面 的交点 P,(2)求证:D,E,P三点共线.,A,B,C,D,E,P,例1、,已知四条直线两两相交，且不共点，求证这四条直线在同一平面内,已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点,求证:a、,b、c、d在同一平面内,分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：,一是有三条直线共点；,二是没有三条直线共点，,故证明要分两种情况,（1）已知：daP，dbQdcR，a、b、c相交于点O,求证：a、b、c、d共面,证明：daP，,过d、a确定一个平面（推论2）,同理过d、b和d、c各确定一个平面、,Oa，Ob，Oc，,O，O，O,平面、都经过直线d和d外一点O,、重合,a、b、c、d共面,注：本题的方法是“同一法”,（2）已知：daP，dbQ，dcR，abM，bcN，acS，且无三线共点,求证：a、b、c、d共面,证明：daP，,d和a确定一个平面（推论2）,abM，dbQ，,M，Q,a、b、c、d四线共面,已知：,直线abc,al=A,bl=B,cl=C,求证：,a,b,c,l共面,a,A,证明：,又al=A,bl=B,ab,a,b,c,l共面,b,c,B,C,l,例1:,已知:A,l,B,l,C,l,D,l,求证:直线AD,BD,CD在同一平面内.,证明:,D,l,点D与直线l可以确定平面,(推论1),l,B,A,C,D,A,l,A,又D,AD,平面,(公理1),同理:,BD,平面,C,D,平面,直线AD,BD,CD在同一平面,内,共面问题：,例题4：已知三条平行线a,b,c都与直线d相交，求证：四条直线共面。,C,d,2.已知:空间四点A、B、C、D不在同一个平面内,求证：直线AB和CD既不相交也不平行.,反证法,A,B,C,D,、要证“,点共面,”,、“,线共面,”可先由部分点、直线确定一平面，在证其余点、直线也在此平面内，,小结,、反证法的应用的意识,即,纳入法,1空间四点,A,、,B,、,C,、,D,共面但不共线，则下列结论成立的是（）,A四点中必有三点共线,B四点中有三点不共线,C,AB,、,BC,、,CD,、,DA,四条直线中总有两条平行,D直线,AB,与,CD,必相交,课堂练习,2下列命题中，有三个公共点的两个平面重合；梯形的四个顶点在同一平面内；三条互相平行的直线必共面；两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中正确命题个数是（）,A0 B1 C2 D3,3空间五个点，没有三点共线，但有四点共面，这样的五个点可以确定平面数最多为（）,A3 B5 C6 D7,4直线,l,1,/,l,2,，在,l,1,上取三点，在,l,2,上取两点，由这五个点能确_个平面,填空题:,（2),两个平面可以把空间分成_部分，,三个平面呢?_。,（1）,三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，,四条直线相交于一点呢?_。,最多确定的平面数是_;,看看,答案,吧,看看,答案,吧,3,6,3或4,4，6或7，8,看看,答案,吧,3条直线相交于一点时：,三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，,最多,可以确定,3,个。,（1）、3条直线共面时,（2）、每2条直线确定一平面时,4条直线相交于一点时：,三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，,最多,可以确定,6,个。,（1）、4条直线全共面时,（2）、有3条直线共面时,（c）、每2条直线都确定一平面时,2个平面分空间有两种情况：,两个平面把空间分成,3或4,个部分。,（1）两平面没有公共点时,（2）两平面有公共点时,3个平面,（2）,（1）,（3）,（4）,（5）,3个平面把空间分成,4，6，7或8,个部分。,