单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 非线性方程,(,组,),的数值解法,3.1,二分法,3.2,不动点迭代法,3.3 Newton,法,3.4,割线法,3.5,非线性方程组的,Newton,法,1,第三章 非线性方程(组)的数值解法 3.1 二分法,（,1,）确定初始含根区间,数值计算方法主要分为两大类。,第一类是,区间收缩法,。,（,2,）收缩含根区间,第二类是,迭代法,。,（,1,）选定根的初始近似值,（,2,）按某种原则生成收敛于根的近似点列,2,（1）确定初始含根区间 数值计算方法主要分为两大类。第一类是,3.1,二分法,(,对分法,),一、根的隔离,将含根区间一个个隔开，找到根的范围，使每个区间只有一个根。,定理,：对,f,(,x,)=0,f,(,x,),在,a,b,上连续,f,(,a,),f,(,b,)0,时,单调增，,故有,20,例3.4所以该迭代格式在区间内发散，不可取。故由定理3.2,则称该序列是,p,阶收敛,的。,p,=1,且,0C1,时称为,线性收敛,;,p,=1,且,C=0,时称为,超线性收敛,;,p,=2,时称为,平方收敛,。,定义,设解序列 收敛于 ，如果迭代误差 当 满足渐近关系式,21,则称该序列是 p 阶收敛的。定义 设解序列,对分法：线性收敛,一般迭代法：线性收敛,22,对分法：线性收敛一般迭代法：线性收敛22,3.3,牛顿迭代法,3.3.1,牛顿迭代公式的构造,设,f,(,x,),在其零点 附近连续可微，已知 为的第,k,次近似值，则,取 的根作为 的第,k,+1,次近似值,其迭代函数为,牛顿迭代法,23,3.3 牛顿迭代法 3.3.1 牛顿迭代公式的构造,几何意义,：,过点 作函数,y,=,f,(,x,),的切线,l,：,以切线,l,与,x,轴的交点 作为 的新近似值,x,x,k+,1,x*,x,k,l,y,24,几何意义：过点 作函数y=f(x)的,3.3.2,牛顿迭代法的收敛性与收敛速度,定理,3.5,给定,f,(,x,)=0,，如果在根 附近,f,(,x,),二阶连续，且 为,f,(,x,)=0,的单根，则牛顿迭代法在 附近至少是平方收敛的。,证,首先证明牛顿迭代法的收敛性：,因此由定理,3.3,知，牛顿迭代法局部收敛。,对牛顿迭代法,而单根保证了,25,3.3.2 牛顿迭代法的收敛性与收敛速度 定理 3.5,其次证明牛顿迭代法的收敛速度：,整理得,可见，当 时，牛顿迭代法为平方收敛；当 时，牛顿迭代法超平方收敛。,26,其次证明牛顿迭代法的收敛速度：整理得 可见，当,例,3.5,试用牛顿迭代法求解 在区间,(2,3),内满足精度要求 的根。,相应于该方程的牛顿迭代公式为,取,x,0,=2,，计算结果见表,2-4,。,解,0 2,1 2.1 0.1,2.094568121 -0.005431879,2.094551482 -0.000016639,2.094551482 0,27,例 3.5 试用牛顿迭代法求解,牛顿迭代法评述,优点：,收敛速度比较快,缺点,：,(1),局部收敛,.,（,2,）当 为 重根时，牛顿迭代法仅仅线性收敛。,（,3,）由于涉及 的计算，计算量大,.,因此，人们致力于研究牛顿迭代法的修改形式。,本章仅对非线性方程介绍一种较为有效的修改算法,弦截法。,28,牛顿迭代法评述 优点：收敛速度比较快 缺点：(1)局部收,3.4,割线法,(,弦截法,),割线法,计算思想是：若已知,x,*,的两个近似值,x,k,和,x,k,-1,，则以,f,(,x,),在,x,k,与,x,k,-1,之间的平均变化率,(,差商,),近似代替 ，据此把牛顿迭代法修改为,几何意义,是以过 和 两点做曲线 的弦线,l,：,以,l,与,x,轴的交点 作为的新近似值,29,3.4 割线法(弦截法)割线法 计算思想,y,o,y,=,f,(,x,),P,Q,x,30,yoy=f(x)PQx30,该定理说明割线法是超线性收敛的算法，也是局部收敛的方法，其迭代初始值亦可用二分法提供,。,定理,3.6,设,f,(,x,),在其零点,x,*,的邻域 内二阶连续，且对 ，则对 ，相应的割线法是 阶收敛的。,定理,3.6,设,f,(,x,),在其零点,x,*,的邻域 内二阶连续，且对 ，则对 ，相应的割线法是 阶收敛的。,31,该定理说明割线法是超线性收敛的算法，也是局部,例,3.7,试用割线法求解 在区间,(2,3),内满足精度要求 的根。,相应于该方程的割线法公式为,解,取 计算，结果见表,3.5,。,32,例 3.7 试用割线法求解,