单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,运筹学,（,第三版）,运筹学教材编写组 编,清华大学出版社,第1章 线性规划与单纯形法,第4节,单纯型法的计算步骤,钱颂迪 制作,第1章 线性规划与单纯形法,第4节,单纯型法的计算步骤,第4节 单纯型法的计算步骤,根据以上讨论的结果，将求解线性规划问题的单纯形法的计算步骤归纳如下,如利用单纯型表，求解线性规划问题。,4.1 单纯型表,为了便于理解计算关系，现设计一种计算表，称为单纯形表，其功能与增广矩阵相似，下面来建立这种计算表。,将(1-22)式与目标函数组成n+1个变量，m+1个方程的方程组。,线性规划的方程组,为了便于迭代运算，可将上述方程组写成增广矩阵形式,这就得到初始基可行解X(0)=(0,0,8,16,12)T,b列中填入约束方程组右端的常数；,将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，见表1-3。,在CB列填入初始基变量的价值系数，它们都为零。,cj行中填入基变量的价值系数c1,c2,cn；,第4节 单纯型法的计算步骤,(2)计算各非基变量xj的检验数，,(4)根据max(j0)=k，确定xk为换入变量，按规则计算,根据以上讨论的结果，将求解线性规划问题的单纯形法的计算步骤归纳如下,则已得到最优解，可停止计算。,1=c1-z1=2-(01+04+00)=2,第4节 单纯型法的计算步骤,，由它确定为换出变量,进行（4）(4)以4为主元素进行旋转运算或迭代运算，即初等行变换，使P2变换为（0,0,1）T,在XB 列中将x2 替换x5,于是得到新表1-4.,检查检验数，若所有检验数,若将z看作不参与基变换的基变量，它与x1,x2,xm的系数构成一个基，这时可采用行初等变换将c1,c2,cm变换为零，使其对应的系数矩阵为单位矩阵。,b列中填入约束方程组右端的常数；,若将z看作不参与基变换的基变量，它与x,1,x,2,x,m,的系数构成一个基，这时可采用行初等变换将c,1,c,2,c,m,变换为零，使其对应的系数矩阵为单位矩阵。得到,可根据上述增广矩阵设计计算表，表,1-2,。,表1-2的说明,X,B,列中填入基变量，这里是x,1,，x,2,，x,m,；,C,B,列中填入基变量的价值系数，这里是c,1,c,2,c,m,；它们是与基变量相对应的；,b列中填入约束方程组右端的常数；,c,j,行中填入基变量的价值系数c,1,c,2,c,n,；,i,列的数字是在确定换入变量后，按规则计算后填入；,最后一行称为检验数行，对应各非基变量x,j,的检验数是,4.2 计算步骤,表1-2称为初始单纯形表，每迭代一步构造一个新单纯形表。,计算步骤：,(1),按数学模型确定,初始可行基,和,初始基可行解，建立初始单纯形表。,(2),计算,各非基变量xj的检验数,，,检查检验数，若所有检验数,则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。,若将z看作不参与基变换的基变量，它与x1,x2,xm的系数构成一个基，这时可采用行初等变换将c1,c2,cm变换为零，使其对应的系数矩阵为单位矩阵。,第1章 线性规划与单纯形法,第1章 线性规划与单纯形法,1=c1-z1=2-(01+04+00)=2,(4)根据max(j0)=k，确定xk为换入变量，按规则计算,运筹学（第三版）,为了便于理解计算关系，现设计一种计算表，称为单纯形表，其功能与增广矩阵相似，下面来建立这种计算表。,，由它确定为换出变量,第1章 线性规划与单纯形法,第1章 线性规划与单纯形法,若将z看作不参与基变换的基变量，它与x1,x2,xm的系数构成一个基，这时可采用行初等变换将c1,c2,cm变换为零，使其对应的系数矩阵为单位矩阵。,这就得到初始基可行解X(0)=(0,0,8,16,12)T,，由它确定为换出变量,将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，见表1-3。,说明x1应为换入变量。,在CB列填入初始基变量的价值系数，它们都为零。,(3)在,j,0,j=m+1,n中，若有某个,k,对应x,k,的系数列向量P,k,0，则此问题是无界，停止计算。,否则，转入下一步。,(4)根据max(,j,0)=,k,，确定x,k,为换入变量，按规则计算,(5)以,a,lk,为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转运算)，把x,k,所对应的列向量,将X,B,列中的x,l,换为x,k,，得到新的单纯形表。重复(2)(5)，直到终止。,现用例,1,的标准型来说明上述计算步骤。,(1)取松弛变量x,3,x,4,x,5,为基变量，它对应的单位矩阵为基。这就得到初始基可行解X,(0),=(0,0,8,16,12),T,将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，见表,1-3,。表中左上角的c,j,是表示目标函数中各变量的价值系数。在C,B,列填入初始基变量的价值系数，它们都为零。,目标函数中各变量的价值系数,。,1.计算检验数，由它确定为换人变量,，由它确定为换出变量,表 1-3,基变量,计算非基变量的检验数,各非基变量的检验数为,1,=c,1,-z,1,=2-(01+04+00)=2,2,=c,2,-z,2,=3-(02+00+04)=3,填入表1-3的底行对应非基变量处。,第4节 单纯型法的计算步骤,这就得到初始基可行解X(0)=(0,0,8,16,12)T,进行（4）(4)以4为主元素进行旋转运算或迭代运算，即初等行变换，使P2变换为（0,0,1）T,在XB 列中将x2 替换x5,于是得到新表1-4.,，由它确定为换出变量,(5)以alk为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转运算)，把xk所对应的列向量,重复(2)(4)的计算步骤，得表1-5。,1=c1-z1=2-(01+04+00)=2,这就得到初始基可行解X(0)=(0,0,8,16,12)T,若将z看作不参与基变换的基变量，它与x1,x2,xm的系数构成一个基，这时可采用行初等变换将c1,c2,cm变换为零，使其对应的系数矩阵为单位矩阵。,表1-2称为初始单纯形表，每迭代一步构造一个新单纯形表。,(2)计算各非基变量xj的检验数，,为了便于理解计算关系，现设计一种计算表，称为单纯形表，其功能与增广矩阵相似，下面来建立这种计算表。,第4节 单纯型法的计算步骤,进行（2），（3）,它所在行对应的x,5,为换出变量，x,2,所在列和x,5,所在行的交叉处,4称为主元素或枢元素(pivot element),进行（4）(4),以,4,为主元素进行旋转运算或迭代运算，即初等行变换，使,P,2,变换为（,0,0,1,）,T,在,X,B,列中将,x,2,替换,x,5,于是得到新表,1-4.,换人变量,换出变量,主元素,(5)检查表1-4的所有c,j,-z,j,这时有c,1,-z,1,=2；说明x,1,应为换入变量。重复(2)(4)的计算步骤，得表1-5。,还存在检验数0，继续进行。,换人变量,换出变量,主元素,(6)表1-6最后一行的所有检验数都已为负或零。这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解,最优解,X,*,=X,(3),=(4,2,0,0,4),T,目标函数的最大值 z,*,=14,第4节 结束,