单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,概率论,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,随机变量相互独立的定义,例题,二维随机变量的推广,4,相互独立的随机变量,随机变量相互独立的定义 4 相互独立的随机变量,两事件,A,B,独立的定义是：若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称事件,A,B,独立,.,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,和,Y,相互,独立,.,一、随机变量相互独立的定义,两事件 A,B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(,用分布函数表示,即,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,和,Y,相互,独立,.,它表明，两个,r.v,相互,独立时，它们的联合分布函,数等于两个边缘分布函数的乘积,.,用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意,若,(,X,Y,),是离散型,r.v,，则上述独立性的定义等价于：,则称,X,和,Y,相互,独立,.,对,(,X,Y,),的所有可能取值,(,x,i,y,j,),有,若(X,Y)是离散型 r.v，则上述独立,其中,是,X,和,Y,的联合密度，,几乎处处成立，则称,X,和,Y,相互,独立,.,对任意的,x,y,有,若,(,X,Y,),是连续型,r.v,，则上述独立性的定义等价于：,这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为,0,的集合外，处处成立,.,分别是,X,的边缘密度和,Y,的边缘密度,.,其中是X和Y的联合密度，几乎处处成立，则称 X 和 Y,例,1,袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球,求：（,X,Y,）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放,回讨论,解：有放回,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,不放回,有放回时，,X,和,Y,相互独立,；不放回时则,不是,例1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球求：（X,Y）,设 （,X,Y,）,N(),X,Y,相互独立吗？,证明：,X,Y,相互独立,证：,例,设 （X,Y）N(,因为,所以,易见,由,x,y,的任意性知，上式对一切,x,y,成立，,故,X,和,Y,相互独立,因为 所以易见由x,y的任意性知，上式对一切x,y成立，,已知,X,和,Y,相互独立,已知X和Y相互独立,例,3,设,(,X,Y,),的概率密度为,问,X,和,Y,是否独立？,x,0,y,0,解：,例3 设(X,Y)的概率密度为问X和Y是,即,可见对一切,x,y,均有：,故,X,Y,独立,.,即可见对一切 x,y,均有：故 X,Y 独立.,例,4,已知,(,X,Y,),的联合概率密度为,(1),(2),讨论,X,Y,是否独立？,例4 已知(X,Y)的联合概率密度为(1)(2),解,(,1),由图可知边缘密度函数,为,1,1,显然，,故,X,Y,相互独立,解(1)由图可知边缘密度函数为11显然，故X,Y 相互独,(2),由图可知边缘密度函数为,显然，,故,X,Y,不独立,1,1,(2)由图可知边缘密度函数为显然，故X,Y 不独立11,判断连续型二维随机变量相互独立的,设,f,(,x,y,),是连续型二维随机变量,(,X,Y,),的联合,密度函数，如果其大于,0,的区域不是矩形，则,X,与,Y,一定不独立。,判断连续型二维随机变量相互独立的 设f(x,y)是连,若两个随机变量相互独立,且又有相同,的分布,不能说这两个随机变量相等,.,如,X,P,-1 1,0.5 0.5,Y,P,-1 1,0.5 0.5,X,Y,相互独立，则,X,-,1,1,-1 1,0.25 0.25,Y,p,ij,0.25 0.25,P,(,X=Y,)=0.5,故不能说,X=Y,.,注意,若两个随机变量相互独立,且又有相同XP-1,解,练习：,解练习：,(1),由分布律的性质知,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2),因为,X,与,Y,相互独立,所以有,特别有又(2)因为 X 与 Y 相互独立,所以有,例,5,一负责人到达办公室的时间均匀分布在,812,时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在,79,时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办,公室的时间相差不超过,5,分钟的概率,.,解,例5 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812,相互独立的随机变量ppt课件,于是,于是,二、二维随机变量的推广,1.,分布函数,二、二维随机变量的推广1.分布函数,2.,概率密度函数,2.概率密度函数,其它依次类推,.,3.,边缘分布函数,其它依次类推.3.边缘分布函数,4.,边缘概率密度函数,4.边缘概率密度函数,5.,相互独立性,5.相互独立性,6.,重要结论,6.重要结论,这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念,.,给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握,.,小结,这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个,布置作业,1.,概率统计,练习册,2.,概率统计,P86:13,14,15,16,17,18.,布置作业1.概率统计练习册,