,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,例1,设生男孩的概率为,p,生女孩的概率为,q=1-p,，,令,X,表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,贝努里概型,和,二项分布,一、,我们来求,X,的概率分布.,X,的概率函数是：,男,女,X,表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，,生男孩的概率为,p,.,X,=0,X,=1,X,=2,X,=3,X,=4,X,可取值0,1,2,3,4.,例2,将,一枚均匀骰子抛掷,3,次，,令,X,表示3次中出现“4”点的次数,X,的概率函数是：,不难求得，,掷骰子：“掷出4点”，“,未掷出4点,”,一般地，,设在一次试验中我们只考虑两个,互逆的结果：,A,或 ，,或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“,失败,”.,新生儿：“是男孩”，“,是女孩,”,抽验产品：“是正品”，“,是次品,”,这样的,n,次独立重复试验称作,n,重贝努里试验，简称贝努里试验或,贝努里概型,.,再设我们重复地进行,n,次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)，,每次试验成功的概率都是,p,，失败的概率,都是,q,=1-,p,.,用,X,表示,n,重贝努里试验中事件,A,（,成功,）出现的次数，则,（2）,不难验证：,（1）,称r.v,X,服从参数为,n,和,p,的二项分布，记作,X,B,(,n,p,),当,n,=1时，,P,(,X,=,k,)=,p,k,(1-p),1-k,k,=0,1,称,X,服从0-1分布,例,3,已知100个产品中有5个次品，现从中,有放回,地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,解:因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验,的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设,X,为所取的3个中的次品数，,于是，所求概率为,：,则,X,B,(3,0.05)，,注：若,将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.,古典概型与贝努里概型不同，有何区别？,请思考：,贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（,1,）每次试验条件相同；,二项分布描述的是,n,重贝努里试验中出现,“成功”次数,X,的概率分布.,（,2,）每次试验只考虑两个互逆结果,A,或 ，,且,P,(,A,)=,p,，；,（,3,）各次试验相互独立.,可以简单地说，,例,4,某类灯泡使用时数在,1000,小时以上,的概率是,0.2,，求三个灯泡在使用,1000,小时以后最多只有一个坏了的概率.,解:设,X,为三个灯泡在使用,1000,小时已,坏的灯泡数.,X,B,(3,0.8)，,把观察一个灯泡的使用,时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”,视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8,P,(,X,1)=,P,(,X,=0)+,P,(,X,=1),=(0.2,)3,+3(0.8)(0.2),2,=0.104,对于固定,n,及,p,，当,k,增加时,概率,P,(,X=k,)先是随之增加直至 达到最大值,随后单调减少.,二项分布的图形特点：,X,B,(,n,p,),当(,n,+1),p,不为整数时，二项概率,P,(,X,=,k,),在,k,=,(,n,+1),p,达到最大值；,(,x,表示不超过,x,的最大整数,),n,=10,p,=0.7,n,P,k,对于固定,n,及,p,，当,k,增加时,概率,P,(,X=k,)先是随之增加直至 达到最大值,随后单调减少.,二项分布的图形特点：,X,B,(,n,p,),当,(n,+1),p,为整数时，二项概率,P,(,X,=,k,),在,k,=(,n,+1),p,和,k,=,(,n,+1),p,-1,处,达到最大值.,课下请自行证明上述结论.,n,=13,p,=0.5,P,k,n,0,想观看二项分布的图形随参数,n,p,的具体变化，请看演示,二项分布,二、二项分布的泊松近似,当试验次数,n,很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例4中，要计算,我们先来介绍,二项分布的泊松近似，,后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的正态近似.,或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.,证明见教材.,定理的条件意味着当,n,很大时，,p,n,必定很小.因此，泊松定理表明，当,n,很大，,p,很小时有以下近似式：,泊松定理,设 是一个正整数，则有,其中,n,100,np,10,时近似效果就很好,请看演示,二项分布的泊松近似,实际计算中，,其中,此例说明，当,p,不是很小，而是很大(接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似.,当,n,很大时，,p,不是很小，而是很大(接近于1)时，能否应用二项分布的泊松近似？,请看教材例5.,下面我们看一个应用例子.,例,5,为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,我们先对题目进行分析：,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.,问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设,X,为300台设备同时发生故障的台数，,300台设备，独立工作，每台出故障概率,p,=0.01.可看作,n,=300的贝努里概型.,X,B,(,n,p,)，,n,=300,p,=0.01,可见，,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.,问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设,X,为300台设备同时发生故障的台数，,X,B,(,n,p,)，,n,=300,p,=0.01,设需配备,N,个维修人员，,所求的是满足,P,(,X,N,),N,),N,),n,大,p,小,np,=3,用 =,np,=3,的泊松近似,下面给出正式求解过程：,即至少需配备8个维修人员.,查书末的泊松分布表得,N,+1 9,即,N,8,我们求满足,的最小的,N,.,这一讲，我们介绍了二项分布.,二项分布是实际中最常见的离散型分布之一.,二项分布描述的是,n,重贝努里试验中出现,“成功”次数,X,的概率分布.,我们介绍了二项分布的泊松近似，,使用时应注意条件.,在解应用题时需要注意判断问题是否为,贝努里概型,，,可否用,二项分布求解.,注：,文档资料素材和资料部分来自网络，如不慎侵犯了您的权益，请联系文库客服，我们将做删除处理，感谢您的理解。,