,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与线性系统第5讲,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,1,开讲前言,-,前讲回顾,函数分解与正交函数集,矢量分解与正交矢量空间,正交函数集的定义,正交函数集的完备性,函数在正交函数集的分解,复变正交函数集的定义,三角、指数函数集构成正交函数集,信号表示为傅立叶级数,三角傅立叶级数，,信号表示为三角傅立叶级数的分量表示,信号可表示为傅立叶级数的条件,指数傅立叶级数，复振幅系数，以及与三角级数系数的关系,关于信号用傅立叶级数表示的几点说明,物理意义、正交函数集的范畴、被表达函数的周期性,2023/9/30信号与线性系统第5讲1开讲前言-前讲回顾,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,2,开讲前言,-,本讲导入,信号表示为傅里叶级数，即信号可由不同频率的正弦信号加权构成,要知道信号由哪些频率的正弦信号组成，知道其加权值，这就是关于信号的频谱问题,频谱：信号由不同频率的信号构成，各个频率信号的幅度。,信号的频谱是信号的重要物理概念,对周期信号进行傅里叶级数展开的同时，得到该周期信号的频谱。,本讲学习周期信号的频谱分析、对称周期信号的频谱分析、非周期信号的频谱分析、傅里叶变换。,2023/9/30信号与线性系统第5讲2开讲前言-本讲导入,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,3,3.4,周期信号的频谱,1,、周期方波频谱分析,1,1,0,T/2,T,t,f(t),2023/9/30信号与线性系统第5讲33.4 周期信号,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,4,3.4,周期信号的频谱,周期方波信号频谱分析,离散性频谱是不连续的线条。,谐波性线条只出现在谐波位置。,收敛性谱线高度为该谐波的振幅，总趋势是收敛的,2023/9/30信号与线性系统第5讲43.4 周期信号,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,5,3.4,周期信号的频谱,2,、周期性矩形脉冲函数频谱分析,脉冲幅度为,A,脉冲宽度为,脉冲重复 周期,T,一个周期内表达式,展开为指数傅里叶级数,复振幅表示为,f(t),A,-,-,-T,0,T,周期性矩形脉冲信号,t,A,0,2023/9/30信号与线性系统第5讲53.4 周期信号,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,6,3.4,周期信号的频谱,直流分量,N,次谐波振幅,振幅与,/T,相关,抽样函数,2023/9/30信号与线性系统第5讲63.4 周期信号,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,7,3.4,周期信号的频谱,频谱作图,抽样函数,sa(x),令,T=5,在,n=0,n=1,n=2,，,求,A,0,、,A,1,、,A,2,各次谐波振幅。,用相应长度线段代表,并按频率高低排列，得,振幅频谱。,三种振幅频谱表示方式,复数振幅,A,n,振幅频谱,A,n,=,|A,n,|,指数级数系数,C,n,Sa(x),0 2 ,A,n,0,2/4/,0,2/4/,|A,n,|,C,n,0,2/4/,2023/9/30信号与线性系统第5讲73.4 周期信号,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,8,3.4,周期信号的频谱,频谱图说明,复数振幅,A,n,一般为复函数，当,A,n,为实函数时可用幅度正、负表示相位为,0,和,，形成幅度谱和相位谱合一，否则就必须分解为振幅频谱和相位频谱表示；,振幅频谱,A,n,=,|A,n,|,为实数，仅仅对幅度描述；,指数级数系数,Cn,是复函数，引入了负频率变量，同时，振幅幅度减半。,2023/9/30信号与线性系统第5讲83.4 周期信号,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,9,3.4,周期信号的频谱讨论,/T,对频谱结构的影响,不变而,T,增大时：,谱线变密。,因,=2/T,，故,T,；,谱线高度减小。,An,与,T,成反比,T,不变而 减小时,振幅过零点谐波频率提高。,包络形状的变化,整个频谱振幅相应减小，收敛速度降低。,0,T,谱线密集成连续,振幅趋近零且平坦无过零点,这就是冲激函数的频谱,0,2A,5,A,n,n,=0,n,=,n,=,n,=0,n,2,(a)T=5,4,6,0,A,5,A,n,n,2,(b)T=10,2,4,6,0,A,10,A,n,n,4,(c)T=20,2,4,6,2023/9/30信号与线性系统第5讲93.4 周期信号,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,10,3.4,周期信号的频谱讨论,频带宽度,定义：,对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，简称,频宽,。,一般以振幅第一个过零点为频带宽度。,若振幅没有过零点，则以振幅下降到最高幅度的,10%,所对应的频率点为频宽。,信号的时间特性和频率特性间的关系,时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。,2023/9/30信号与线性系统第5讲103.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,11,3.4,周期信号的频谱,3,、对称信号的傅里叶级数,四种对称关系,偶函数：对称纵轴,奇函数：对称原点,奇谐函数：半周期镜像,偶谐函数：半周期重叠,任意函数,f(t),的奇、偶分量表示法：,2023/9/30信号与线性系统第5讲113.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,12,3.4,周期信号的频谱,对称函数频谱分析,周期函数展开为三角傅里叶级数,偶函数项 奇函数项,余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数,偶函数只有直流分量和余弦项,奇函数只有正弦项,奇谐函数只有奇数谐波项,偶谐函数只有偶数谐波项,2023/9/30信号与线性系统第5讲123.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,13,3.4,周期信号的频谱,偶函数三角级数表达式,a,n,是实数,b,n,0,偶函数指数级数表达式,C,n,是实数,举例：周期三角函数,-T/2,E,f(t),T/2,t,2023/9/30信号与线性系统第5讲133.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,14,3.4,周期信号的频谱,奇函数三角级数表达式,a,n,a,0,0,b,n,是实数,奇函数指数级数表达式,C,n,是虚数,举例：周期锯齿波函数,E/2,-E/2,T/2,-T/2,f(t),t,0,2023/9/30信号与线性系统第5讲143.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,15,3.4,周期信号的频谱,奇谐函数特征,沿时间轴移半个周期；,符号反转；,波形不变；,移动半周期横轴镜像对称,奇谐函数傅里叶级数,偶次谐波系数为,0,a,2n,=b,2n,=0,T/2,-T/2,0,t,2023/9/30信号与线性系统第5讲153.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,16,3.4,周期信号的频谱,偶谐函数特征,沿时间轴移半个周期；,波形不变；,半周期重叠,偶谐函数傅里叶级数,奇次谐波系数为,0,可看成,T,1,=T/2,的周期函数,作为周期,T,分析，系数为,作为周期,T,1,分析，系数为,f(t),T/2,-T/2,0,t,-T,T,2023/9/30信号与线性系统第5讲163.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,17,3.4,周期信号的频谱举例,利用傅立叶级数的对称性判断信号含有的频率分量,函数为周期偶函数且奇谐函数,只含基波和奇次谐波的余弦分量,函数为周期奇函数且奇谐函数,只含基波和奇次谐波的正弦分量,T/2,-T/2,T/2,-T/2,2023/9/30信号与线性系统第5讲173.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,18,3.4,周期信号的频谱举例,函数为偶谐函数,含有直流分量和偶次谐波分量,函数为奇函数,只含有正弦分量,函数为偶函数且偶谐函数,含有直流分量和偶次余弦分量,T/2,-T/2,T/2,-T/2,T/2,-T/2,2023/9/30信号与线性系统第5讲183.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,19,3.4,周期信号的频谱,对称情况,偶函数,f(t)=f(-t),奇函数,f(t)=-f(-t),性质,只有常数项,及余弦项,a,0,a,n,(n,0),n=1,2,3,b,n,0,只有正弦项,0,0,偶谐函数,f,(t,),=f(t),只有偶次谐波,只有奇次谐波,n=2,，,4,，,6,，,n=1,2,3,n=2,，,4,，,6,，,奇谐函数,f,(t,),=-f(t),0,n=1,，,3,，,5,，,n=1,，,3,，,5,，,2023/9/30信号与线性系统第5讲193.4 周期信,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,20,3.5,傅里叶变换与非周期信号的频谱,1,、思路,讨论周期脉冲信号的频谱函数时候发现周期无穷大成为非周期信号，频谱谱线密集变得连续，幅度收缩为无穷小；,如何表示整体无穷小但仍有相对振幅差别的非周期信号频谱？,通过对频谱的定义公式乘,T/2,，可以保持振幅之间的相对大小关系，由此产生一个对非周期信号频谱有意义的定义；,考虑,T,趋向无穷大，对于原信号傅里叶级数求和表达式进行积分转化，得到一个很有用途的新的定义：,傅里叶变换关系式,2023/9/30信号与线性系统第5讲203.5傅里叶变,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,21,3.5,傅里叶变换与非周期信号的频谱,2,、傅里叶变换定义,定义,f(t),为,f,T,(t),在,T,的非周期函数,周期函数,f,T,(t),的复振幅表示为,两边乘,T/2,，当,T,时，极限量用符号,F(j),表示；,当,T,时，趋于无穷小用,d,表示，,n,趋于；,F(j,),的量纲为：单位频带的振幅，,称其为原函数,f(t),的,频谱密度函数,。,2023/9/30信号与线性系统第5讲213.5傅里叶变,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,22,3.5,傅里叶变换与非周期信号的频谱,F(j,),表示为复函数,幅度频谱,|,F(j,)|,相位频谱,(),复函数的共轭性,因为,若,f(t),为实函数，则,F(j,),和,F(-j,),共轭，有下列结果,F*(j,)=,F(-j,),进而推导，由于,F(j,)=|,F(j,)|,e,-j(),则有,F*(j,)=|,F(j,)|,e,j(),F(-j,)=|,F(-j,)|,e,-j(-),上面两个复函数相等，则函数的模和相角都相等，有下面等式,|,F(j,)|=|,F(-j,)|,和,()=-(-),结论：,|,F(j,)|,是的偶函数，,(),是的奇函数。,2023/9/30信号与线性系统第5讲223.5傅里叶变,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,23,3.5,傅里叶变换与非周期信号的频谱,用,F(j,),表达,f(t),当,T,，,傅里叶变换式,正,反,2023/9/30信号与线性系统第5讲233.5傅里叶变,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,24,3.5,傅里叶变换与非周期信号的频谱,傅里叶变换存在的条件,非周期信号进行傅里叶积分也要满足狄利克雷条件。,（有限间断点、有限极值和积分收敛）,绝对可积条件的积分表达式，为以下积分收敛,这是一个充分条件，不是必要条件；,后面要介绍的周期函数的傅里叶变换表现出：函数虽然不是绝对可积，但存在傅里叶变换。,2023/9/30信号与线性系统第5讲243.5傅里叶变,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,25,3.5,傅里叶变换与非周期信号的频谱,2,、典型非周期信号的傅里叶变换分析,宽度,，幅度,A,的单脉冲信号,（门函数）,傅里叶变换,t,f,(t),A,0,f(t)=,A|t|,/2,F(j),A,0 ,2023/9/30信号与线性系统第5讲253.5傅里叶变,2024/11/20,信号与线性系统第5讲,26,3.5,傅里叶变换与非周期