单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.3,数学归纳法,6.3 数学归纳法,观察以下等式：,可以推测,问题的提出：,（,*,）,要证明公式（,*,）成立，原则上要对,每一个正整数,n,实施证明。这个证明步骤是无限的，逐一证明不现实，那怎么证明？,观察以下等式：可以推测问题的提出：（*）要证明公式（*,你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要,保证,你码放的骨牌,都能,倒下，必须,满足什么条件,？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？,思考与讨论：,多米诺骨牌游戏,你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要保证你码放的骨牌,（1）第1块能够被推倒。,（2）若前一块倒下，则其能推倒相邻的后一块。,思考与讨论：,你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要,保证,你码放的骨牌,都能,倒下，必须满足什么条件？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？,（1）第1块能够被推倒。思考与讨论：你看过,多米诺骨牌游戏的原理对证明一个使所有正整数n有关的命题都成立有何启示？能类比此游戏原理证明猜想：,？,迁移与探究：,多米诺骨牌游戏的原理对证明一个使所有正整数n有关,请填写下表：,多米诺骨牌游戏原理,证明猜想：,第一步,（,1,）第,1,块,能,倒下,第二步,（2）假如前一块倒下，则,能够推倒,相邻下一块,结论,根据（,1,）和（,2,），可知不论有多少骨牌都能,全部倒下！,迁移与探究：,请填写下表：多米诺骨牌游戏原理证明猜想：第一步（1）第1块能,请填写下表：,多米诺骨牌游戏原理,证明猜想：,第一步,（,1,）第,1,块,能,倒下,（1）当,n=1,时，等式能（倒下）成立。,第二步,（2）假如前一块倒下，则,能够推倒,相邻下一块,（2）假设当,n=,k时，等式成立,能“推倒”当,n=,k+1时的等式,结论,根据（,1,）和（,2,），可知不论有多少骨牌都能全部倒下,迁移与探究：,请填写下表：多米诺骨牌游戏原理证明猜想：第一步（1）第1块能,请填写下表：,多米诺骨牌游戏原理,证明猜想：,第一步,（,1,）第,1,块,能,倒下,（1）当,n=1,时，等式能（倒下）成立。,第二步,（2）假如前一块倒下，则,能够推倒,相邻下一块,（2）假设当,n=,k时，等式成立,能“推倒”当,n=,k+1时的等式,（能证明当,n=,k+1时等式成立）。,结论,根据（,1,）和（,2,），可知不论有多少骨牌都能全部倒下,迁移与探究：,请填写下表：多米诺骨牌游戏原理证明猜想：第一步（1）第1块能,请填写下表：,多米诺骨牌游戏原理,证明猜想：,第一步,（,1,）第,1,块,能,倒下,（1）当,n=1,时，等式能（倒下）成立。,第二步,（2）假如前一块倒下，则,能够推倒,相邻下一块,（2）假设当,n=,k时，等式成立,能“推倒”当,n=,k+1时的等式,（能证明当,n=,k+1时等式成立）。,结论,根据（,1,）和（,2,），可知不论有多少骨牌都能全部倒下,由（1）（2）可得，等式对所有的 成立。,迁移与探究：,思考：当一个命题满足上述（,1）、（2）两个条件时，能否把证明无限问题解决了？,请填写下表：多米诺骨牌游戏原理证明猜想：第一步（1）第1块能,请填写下表：,多米诺骨牌游戏原理,证明猜想：,第一步,（,1,）第,1,块,能,倒下,（1）当,n=1,时，等式能（倒下）成立。,第二步,（2）假如前一块倒下，则,能够推倒,相邻下一块,（2）假设当,n=,k时，等式成立,能“推倒”当,n=,k+1时的等式,（能证明当,n=,k+1时等式成立）。,结论,根据（,1,）和（,2,），可知不论有多少骨牌都能全部倒下,由（1）（2）可得，等式对所有的 成立。,迁移与探究：,请填写下表：多米诺骨牌游戏原理证明猜想：第一步（1）第1块能,证明一个与正整数,n有关的数学命题的步骤：,（1）证明当n取,第一个值n,0,(例如n,0,=1)时命题成立;,（2）假设当n=k(kN,*,k n,0,)时命题成立，,证明,当n=k+1时命题也成立.,由（1）（2）可知命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都正确。,这种证明方法,叫做,数学归纳法,结论与新知：,数学归纳法,证明一个与正整数n有关的数学命题的步骤：（1）证明当n取第一,1、用数学归纳法证明,自主探究,2,、数列 ，已知 ，通过计算得 我们猜出 通项公式为 ，请用,数学归纳法证明,这个猜想。,1、用数学归纳法证明自主探究2、数列 ，已知,数学归纳法中的,两步骤,在证明命题中分别起什么作用？能否,去掉,其中,某个,条件？,反思与深化,（1）证明当n取,第一个值n,0,(例如n,0,=1)时命题成立;,（2）假设当n=k(kN,*,k n,0,)时命题成立，,证明,当n=k+1时命题也成立.,由（1）（2）可知命题对从n,0,开始的所有正整数n都正确。,数学归纳法中的两步骤在证明命题中分别起什么作用？能否去掉其中,结论1：,第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无。,假设当,n=k(),时等式成立，,即：,上述证明方法正确吗？为什么？,1,:,甲同学猜想了等式：,用数学归纳法验证如下：,则当,n=k+1,时,所以对任何 等式都成立。,反思与深化,结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误,2：乙同学用数学归纳法证明猜想,如采用下面证法，对吗？为什么,结论2：,在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.,反思与深化,2：乙同学用数学归纳法证明猜想结论2：在第二步中,证明n=k,证明一个与正整数,n有关的数学命题的步骤：,（1）证明当n取,第一个值n,0,(例如n,0,=1)时命题成立;,（2）假设当n=k(kN,*,k n,0,)时命题成立，,证明,当n=k+1时命题也成立.,由（1）（2）可知命题对从n,0,开始的所有正整数n都正确。,数学归纳法,【,归纳奠基,】,【,归纳递推,】,两个步骤缺一不可,证明一个与正整数n有关的数学命题的步骤：（1）证明当n取第一,检测反馈,用数学归纳法证明：在验证,n=1,成立时，,左边计算所得的结果,是,A1 B.C D.,某个命题与正整数有关，如果当n=k(nN)时成立可推得n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题,不成立,，那么可推得,A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立,C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立,检测反馈用数学归纳法证明：,检测反馈,课堂小结,问题,1：数学归纳法的基本思想？,问题,2：数学归纳法的证明命题步骤？,检测反馈课堂小结问题1：数学归纳法的基本思想？,检测反馈,课堂小结,问题1：数学归纳法的基本思想？,递推思想,问题2：数学归纳法的证明命题步骤？,检测反馈课堂小结问题1：数学归纳法的基本思想？,检测反馈,课堂小结,（1）证明当n取,第一个值n,0,(例如n,0,=1)时命题成立;,（2）假设当n=k(kN,*,k n,0,)时命题成立，,证明,当n=k+1时命题也成立.,由（1）（2）可知命题对从n,0,开始的所有正整数n都正确。,【,归纳奠基,】,【,归纳递推,】,问题1：数学归纳法的基本思想？,递推思想,问题2：数学归纳法的证明命题步骤？,检测反馈课堂小结（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1),检测反馈,课堂小结,问题1：数学归纳法的基本思想？,递推思想,问题2：数学归纳法的证明命题步骤？,两个步骤一结论；,递推基础不可少；,归纳假设要用到；,结论写明莫忘掉。,检测反馈课堂小结问题1：数学归纳法的基本思想？两个步骤一结,课后作业,见学案,课后作业见学案,谢谢！,谢谢！,用数学归纳法证明：,检测反馈,用数学归纳法证明：检测反馈,