单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 插值法,(,Interpolation Method),第三章 插值法(Interpolation Metho,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：,深度（,M）466 741 950 1422 1634,水温（,o,C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13,根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米,）处的水温,举例,这就是本章要讨论的“插值问题”,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：举例这就是本章要讨论,当精确函数,y,=,f,(,x,),非常复杂或未知时，在区间,a,b,上一系列节点,x,0,x,m,处测得函数值,y,0,=,f,(,x,0,),y,m,=,f,(,x,m,)，,由此构造一个简单易算的,近似函数,g,(,x,),f,(,x,)，,满足条件,g,(,x,j,),=,f,(,x,j,)(,j,=0,m,)(*),这个问题称为,“插值问题”,插值问题的定义,这里的,g,(,x,),称为,f,(,x,),的,插值函数,。,节点,x,0,x,m,称为插值节点,条件（*)称为,插值条件,，区间,a,b,称为,插值区间,当精确函数 y=f(x)非常复杂或未知时，在区,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,f,(,x,),g,(,x,),x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x),最常用的插值函数是?,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为,代数插值,本章主要讨论的内容,插值函数的类型有很多种,插值问题,插值法,插值函数,最常用的插值函数是?代数多项式用代数多项式作插值函数的插,一,、,插值问题解的存在唯一性？,二、,插值多项式的常用构造方法？,三、,插值函数的误差如何估计？,代数插值,一、插值问题解的存在唯一性？代数插值,3,.2 代数插值问题解的存在惟一性,给定区间,a,b,上互异的,n+1,个点,x,j,n,j=0,的一,组函数值,f(x,j,)，j=0，,n，,求一个,n,次多项式,p,n,(x),P,n,，,使得,p,n,(x,j,)=f(x,j,)，j=0,1,，n.,.(1),令,p,n,(x)=a,0,+a,1,x+a,n,x,n,.(2),只要证明,P,n,(x),的系数,a,0,a,1,a,n,存在唯一即可,3.2 代数插值问题解的存在惟一性 给定区间a,b上互,为此由插值条件(,1,)知,P,n,(x),的系数满足下列,n+1,个代数方程构成的线性方程组,a,0,+a,1,x,0,+a,n,x,0,n,=f(x,0,),a,0,+a,1,x,1,+a,n,x,1,n,=f(x,1,),.,a,0,+a,1,x,n,+a,n,x,n,n,=f(x,n,),(3),为此由插值条件(1)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方,而,a,i,(i=0,1,2,n),的系数行列式是,Vandermonde,行列式,由于,x,i,互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解,a,0,a,1,a,n,存在且唯一。,而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vanderm,通过解上述方程组(3)求得插值多项式,p,n,(x),的方法并不可取.这是因为当,n,较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能,是病态方程组）,当阶数,n,越,高时，病态越重,。,为此我们必须从其它途径来求,P,n,(x)：,不通过求解方程组而获得插值多项式,通过解上述方程组(3)求得插值多项式pn(x)的方法并不,基本思想：,在,n,次多项式空间,P,n,中找一组合适的基函数,0,(,x),1,(x),n,（,x),使,p,n,(x)=a,0,0,(,x),+a,1,1,(x),+a,n,n,（,x),不同的基函数的选取导致不同的,插值方法,Lagrange,插值,Newton,插值,基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数pn(x),n,=1,使得,可见,P,1,(,x,),是过(,x,0,y,0,),和(,x,1,y,1,),两点的直线。,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,P,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,+,y,1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),=,=,1,0,),(,i,i,i,y,x,l,3,.3,Lagrange,插值,求,n,次多项式 使得,已知,x,0,x,1,;,y,0,y,1,，,求,n=1使得可见 P1(x)是过(x0,y0),构造基函数,（2）,与,节点,有关，而与,f,无关,这里每个,l,j,(x),都是,n,次多项式，且由(1)式容易验证,l,j,(x）,满足,j=0,1,，n （1）,构造基函数（2）与 节点有关，而与f 无关这里每个lj(x),对任意的,p,n,(x)P,n,，,都有,p,n,(x)=c,0,l,0,(x)+c,1,l,1,(x)+,+c,n,l,n,(x),其中,c,0,c,1,c,n,为组合系数,可以证明函数组,l,0,(x)，l,1,(x)，,l,n,(x),在插值区间,a,b,上线性无关，所以这,n+1,个函数可作为,P,n,的一组基函数，称为,Lagrange,插值基函数,对任意的pn(x)Pn，都有可以证明函数组l0(x)，l,由,Lagrange,插值基函数满足(2)式可知，方程组变成,因此得到插值多项式,p,n,(x),=f(x,0,),l,0,(x)+f(x,1,),l,1,(x)+f(x,n,),l,n,(x),记为,L,n,(x),f(x,j,),l,j,(x),称,L,n,(x),为,n,次,Lagrange,插值多项式,由Lagrange插值基函数满足(2)式可知，方程组变成因此,插值余项,/*,Remainder*/,定理,4.3.1,若,在,a,b,内存在,则在,a,b,上,的,n+1,个互异的点，对,f,（,x),所作的,n,次,Lagrange,插值多项式,L,n,(x),有误差估计,Rolles Theorem,的推论,:,若 充分光滑，且,存在,使得,插值余项/*Remainder*/定理4.3.1,证明：由于,R,n,(x,i,)0，i,=0,1,，n,任意固定,x,x,i,(,i,=0,n,),考察,(,t,),有,n,+2,个不同的根,x,0,x,n,x,证明：由于Rn(xi)0，i=0,1,，n任意固定,例：,已知,分别利用,sin,x,的1次、2次,Lagrange,插值计算,sin 50,，,并估计误差。,解：,n,=1,分别利用,x,0,x,1,以及,x,1,x,2,计算,利用,例：已知分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange,sin 50,=0.7660444,利用,x,0,x,1,作为插值节点的实际误差,0.01001,利用,计算得：,sin 50,0.76008,利用,x,1,x,2,作为插值节点的实际误差,0.00596,sin 50=0.7660444利用x0,x1,n,=2,sin 50,=0.7660444,2次插值的实际误差,0.00061,n=2sin 50=0.76604442次插值,