机动 目录 上页 下页 返回 结束,第,*,页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第,*,页,引例,1,考察闭区间,0,1,上的连续函数序列,x,n,C,0,1:,x,n,=,x,n,(t,)=,t,n,(n=1,2,),x,n,C,0,1,是有界点列,。,但是，,x,n,C,0,1,是没有收敛子列,.,事实上，,若,子列,x,nk,x,n,使,x,nk,xC0,1,函数子列,x,nk,(t,),在,0,1,上一致收敛于,x,(t,),这与,x,(t,),在,0,1,上连续矛盾。,结论：在一般的距离空间,(,即使是完备的,),中，有界点列,不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立。,引例,2,C0,1,中的点列：,显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列。,事实上，若,子列,x,nk,x,n,使,x,nk,xC0,1,函数子列,x,nk,(t,),在,0,1,上一致收敛于,x(t,),这与,x(t,),在,0,1,上连续矛盾。,定义,5.3,(,全有界集,),设,X,是距离空间，,A,X,.,如果,0,A,的有限的,-,网,B,=,x,1,x,2,x,n,则称,A,为全有界集,.,例,3,闭区间,0,1,是,R,中的全有界集。,证,0,取,n1/,则有,1/n.,构造有限点集,B=0,1/n,2/n,(n-1)/n0,1,x,yB,是相邻两点，有,(,x,y,)=1/n.,B,中各点的开球的全体覆盖了,A,B,是,0,1,区间一个有限的,-,网,0,1,区间是全有界集。,注,1),对全有界集,A,一定能找到它的有限,-,网,BA.,2),全有界集,A,的有限的,-,网的构造方法：,首先，构造一个 有限点集,B=x,1,x,2,x,n,A,然后，选取网中个开球的公共半径，,x,yB,是相邻两点，有,(,x,y,)0,N,当,m,n,N,时,(,x,m,x,n,)N,m=N+1,时,(x,N+1,x,n,)N),B,中各点的任意开球的全体覆盖了,A,0,，,B,都是,A,的一个有限的,-,网,A,是全有界集,