单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,刚体运动学,1.1,刚体的平动和转动,(1),刚体、刚体的平动,刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小不变，理想化的模型。,(2),刚体的平动,刚体内任何一条给定的直线,在运动中始终保持它的方向不变。,各质点具有相同的速度和加速度，所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体的运动。,刚体的平动时可看成质点。,1,(3),刚体的转动,刚体中各点都绕同一直线,(,转轴,),作圆周运动,.,转轴固定不动,称为定轴转动,.,P,为刚体上一质点，在转动平面内绕,0,点作圆周运动。,转轴,参考方向,0,d,P,d,t,K,d,转动平面：,任取一垂直于转轴的平面,(4),转动运动学的物理量,再任取一点,K,，,在同一个,d,t,内，也转过同样的,d,角。,所以：刚体中任何其它质点都具有相同的,，,，,2,即,(,，,，,),三量具有普遍性。知一点的,(,，,，,),，可知整个刚体的运动。,故用,(,）,描写刚体的转动。,所以：定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的,，,，,3,0,转轴,P,1.2,角速度矢量,4,例：一刚体以每分钟,60,转绕,z,轴做匀速运动,(,沿,z,轴正方向,),，设某时刻刚体上一点,P,的位置矢量为：,（单位为“,10,-2,m”,），若以,“,10,-2,m,s,-,1,”,为单位，则该时刻,P,点的速度为：,解：,还可解行列式,5,(1),求角加速度,和飞轮从制动开始到静止所转过的转数,N,；,(2),求制动开始后,t,=,25s,时飞轮的角速度,；,0,r,O,解,(1),初角速度为,0,=21500/60=50,rad/s,，,方向如图,刚体运动学,综合例题,:,一飞轮转速,n,=1500,r,/min,，受到制动后均匀地减速，经,t,=50,s,后静止。,从开始制动到静止，飞轮的角位移,及转数,N,分别为,对于,匀变速转动,，应用,以角量表示的运动方程,，,在,t,=50s,时刻,=0,，代入方程,=,0,+,t,得,(2),t,=25,s,时飞轮的角速度为,的方向与,0,相同；,6,对轴的角动量和对轴的力矩,矢量代数的一般处理方式：,在具体的坐标系中，角动量（或,力矩）在各坐标轴的分量，就叫,对轴,的角动量（或力矩）。,讨论,L,z,：质点对,z,轴的角动量,M,z,：质点对,z,轴的力矩,P63,7,转动平面,求力对,z,轴的力矩,M,z,的,(,教材,),简化步骤：,结论：,z,轴转动平面内的分量的运算就是对,z,轴的力矩,第,2,步，认定位矢和力在转动平面内的分量,第,3,步，算出力对,z,轴的力矩,.,第,1,步，通过质点画,z,轴,转动平面,（过质点垂直转轴的平面，即过质点的,xy,平面）,转轴,8,2.1,力对转轴的力矩,.,(1),外力在垂直于转轴的平面内。,如果：,2,转动定理 转动惯量,（刚体动力学）,0,p,9,0,(2),外力不在垂直于转轴的平面内,P,P63,结论：,z,轴转动平面内的分量的运算就是对,z,轴的力矩。,转动平面,转轴,10,2.2,转动定理,合外力矩,M,合内力矩,=0,O,i,11,合外力矩,M,合内力矩,=0,M=I,转动定理,定轴转动定理（律）在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,12,例,:,几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，,如果这几个力的矢量和为零，则此刚体,(A),必然不会转动,(B),转速必然不变,(C),转速必然改变,(D),转速可能不变，也可能改变,答案：,(),D,参考解答：,在应用转动定律,M=I,时应注意,M,是,合外力矩,，,是外力力矩之和，而不是合外力的力矩。,几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。,例,:,一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。,答,:,并不是一定为零。,如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不为零。,讨论,13,d,m,质元的质量,r,质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式,按,转动惯量的定义有,2.3,转动惯量的计算,转动惯量是转动中惯性大小的量度,。,质量是平动中惯性大小的量度。,类比,：,平动：一维直线运动,转动：定轴转动,14,注意：,转动惯量,与质量有关，与运动速度无关。,质量一定时,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。,转动惯量计算：,例：,m,m,m,d,d,d,A,0,三个质点,m,组成一个正三角形刚体结构。,求,I,A,、,I,0,。,叠加原理,与转轴的位置有关。,15,(2),转轴过顶端,与棒垂直,x,取,d,x,：,转动惯量与转轴的位置有关,0,例：细棒质量,m,均匀分布,长,l,(1),转轴过中心,与棒垂直,.,x,0,d,x,x,取,d,x,：,质量连续分布：,d,x,16,平行轴定理：,d,两平行轴之间的距离。,1,2,例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求,I,0,。,m,，,R,r,0,r,d,r,取半径为,r,，,宽为,d,r,的圆环,质心,C,17,（,m,2,m,1,）,T,2,a,T,1,m,1,g,a,又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向加速度,R,和物体的加速度相等,.,例：如图所示,滑轮质量,m,半径,R,(,注意,:,在中学里,一般滑轮质量,略去不计,）,求：物体的加速度和绳的张力。,18,例,:,一半径为,R,，,质量为,m,匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为,，令圆盘最初以角速度,0,绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解：由于摩擦力不是集中作用于,某,一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，其力矩的计算要用,积分法,。,质元,圆盘所受阻力矩,0,e,如图，把圆盘分成许多如图的,质元,，,每个质元的质量为,d,m,，,d,m=,d,V,=,r,d,d,re,，,(,e,是盘的厚度,),所受到的阻力矩,d,M,=,r,d,mg,。,d,r,d,阻力矩向下，,与,0,方向相反,！,19,也可以把圆盘分成许多,圆环形质元,，,每个质元的质量,d,m=,d,V,=,2,r,d,re,，,所受到的阻力矩是,r,d,mg,。,因,m=,e,R,2,，,代入得,r,e,质元,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度,.,设圆盘经过时间,t,停止转动，则有,由此求得：,20,例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为,0,，,转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面，,每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为,k,试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为,b,，,宽为,a,，,薄板质量为,m,解 在板上距离转轴为,r,处取一长度为,b,，宽度,为,d,r,的,面积元,，其面积为,d,S,=,b,d,r,当板的角速度,时，面积元的速率为,v,=,r,所受的阻力为,d,f,=k,v,2,d,S,=k,2,r,2,b,d,r,，,阻力产生的力矩为,d,M,=,r,d,f,=k,2,r,3,b,d,r,，,因此合力矩为,a,b,d,S,r,r,0,其角加速度为,负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反,.,注意：,不成立！？,21,由于,=,d,/,d,t,，,可得转动的微分方程,分离变量得,积分得,当,t,=0,时,，,=,0,，,所以,C,=-1/,0,，,因此得：,当,=,0,/2,时,，,解得时间为,：,22,3,刚体的动能与势能,整个刚体的转动动能等于各质点动能之和。,刚体的转动动能,3.1,刚体的转动动能,O,Z,23,(1),力矩的功,外力矩,刚体从角位移,1,2,时，,外力矩,M,所作的功。,3.2,定轴转动的动能定理,i,d,0,i,Z,P,P,24,合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于其转动动能的增量。,(2),定轴转动的动能定理,25,解：当棒摆到如图所示位置时，,例：如图：均匀细棒,（,m,、,l,），,水平开始下摆，到竖直位置时，中心点,C,和端点,A,的速度各为多少？,.,C,mg,C,A,0,光滑轴,.,再问：水平位置和竖直位置棒的角加速度各为多少,?,下摆,d,，,任取一中间过程,26,3.3,刚体的重力势能,x,0,h,(,y,),m,c,.,刚体势能的计算,:,把刚体的质量看成集中于质心,计算质心势能即可,.,27,3.4,刚体系统的功能原理,A,外力,+,A,非保守内力,=,（,E,k,2,+,E,p,2,）,（,E,k,1,+,E,p,1,）,系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量,功能原理,3.5,机械能守恒定律,系统机械能守恒,.,平动动能+转动动能+重力势能+弹性势能=恒量,如上例：棒定轴转动，只有保守力,(,重力,),作功，机械能守恒。,水平，机械能：,mgh,（注意势能零点的选择）,竖直，机械能：,机械能守恒：,28,例,:,质量,m,1,，,半径为,R,的定滑轮（当作均质圆盘）上绕一轻绳，绳的一端固定在滑轮上，另一端挂一质量为,m,2,的物体而下垂，如图所示。忽略轴处摩擦，求物体,m,2,由静止下落,h,高度时的速度。,h,R,O,m,2,m,1,解 将,滑轮,、,物体,、,绳,和地球视为一个系统，根据机械能守恒定律,29,1.,刚体的角动量,4.4,刚体角动量和角动量守恒定律,刚体为特殊质点系，质点系对轴线的角动量定理,（,2.43,）,可直接应用于刚体，略去下标,z,，写成,刚体所受对,某给定轴,的合外力矩等于刚体,对,该轴,的角动量对时间的变化率。,P63,30,2.,角动量,(,动量矩,),定理,动量定理,:,设想,:,角动量定理,:,31,3.,角动量守恒定律,刚体所受的合外力矩等于零时,刚体的角动量保持不变,.,32,例：如图所示,球,棒,完全弹性碰撞,.,求小球的回跳速度,v,棒的角速度,。,.,0,解,:,小球：,动量定理,(,向上为正,),：,细棒：,角动量定理,(,方向以为正,),：,球,棒系统,弹性碰撞,动能守恒：,问题：公式（,3,）的物理意义？,另解,:,棒球系统,碰撞过程角动量守恒,.,平面,33,解,:,完全非弹性碰撞,外力,:,重力,轴的支承力,对转轴的力矩为零,角动量守恒,.,碰后瞬间：设棒和枪弹开始一起运动时的角速度为,角动量守恒：,例：均匀细杆长,L,质量,M,可绕,A,端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为,m,的枪弹沿水平方向射进杆的,P,点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知,AP,长为,l,求枪弹射入之前的速度,v,.,常见错误：,P,A,.,B,m,v,l,叠加原理,34,此后，棒和枪弹一起以,运动，机械能守恒。,枪弹射入后,棒和枪弹系统的质心位置,r,c,：,竖直，,机械能：,最大偏转角,处,机械能,：,例：均匀细杆长,L,质量,M,可绕,A,端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为,m,的枪弹沿水平方向射进杆的,P,点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知,AP,长为,l,求枪弹射入之前的速度,v,.,P,A,.,B,m,v,l,C,h,.,C,r,c,.,零势能点,35,例,:,工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，,A,和,B,两飞轮的轴杆在同一中心线上，,A,轮的转动惯量为,I,A,=,10kg,m,2,，,B,的转动惯量为,I,B,=20kg,m,2,。,开始时,A,轮的转速为,600r/min,，,B,轮静止。,C,为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,A,A,C,B,A,C,B,36,解：以飞轮,A,、,B,和啮合器,C,作为一系统