,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,小结与复习,第二十七章 相 似,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,(,1,)形状相同的图形,(,2,)相似多边形,要点梳理,(,3,)相似比：相似多边形对应边的比,1.,图形的相似,表象：大小不等，形状相同.,实质：各,对应角相等,、各,对应边成比例,.,通过定义,平行于三角形一边的直线,三边成比例,两边成比例且夹角相等,两角分别相等,两直角三角形的斜边和一条直角边成比例,(,三个角分别相等，三条边成比例,),2.,相似三角形的判定,对应角相等、对应边成比例,对应高、中线、,角,平分线的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,3.,相似三角形的性质,(,1,),测高,测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.,(,不能直接使用皮尺或刻度尺量的,),(,不能直接测量的两点间的距离,),测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例的原理解决.,(,2,),测距,4.,相似三角形的应用,(,1,),如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连,线相交于一点，那么这样的两个图形叫做,位,似图形,，这个点叫做,位似中心,.(,这时的相似,比也称为,位似比,),5.,位似,(,2,)性质,：,位似图形上任意一对对应点到位似中心,的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在,一条直线上.,(,3,),位似性质的,应用,：能将一个图形,放大,或,缩小.,A,B,G,C,E,D,F,P,B,A,C,D,E,F,G,A,B,C,D,E,F,G,A,B,G,C,E,D,F,P,(,4,)平面直角坐标系中的,位似,当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为,k,；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为,k.,考点讲练,考点一 相似三角形的判定和性质,针对训练,1如下图,当满足以下条件之一时，都可判定,ADC ACB,(1)；,(2)；,(3).,ACD,=,B,ACB,=,ADC,B,C,A,D,或,AC,2,=,AD,AB,2.ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的,DEF 的最小边长为 15，那么 DEF 的其他两条,边长为 ,36,和,39,3.如图，ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上,且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，假设 AEF,与 ABC 相似，那么 AF=.,B,C,A,E,2,或,4.如图，在 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE:EC,=1:2，连接 AE 交 BD 于点 F，那么 BFE 的面积,与 DFA 的面积之比为 .,1:9,5.,如图，,CD,是,O,的弦，,AB,是直径，,CD,AB,，垂,足为,P,，求证：,PC,2,PA,PB,.,B,A,C,D,O,P,证明：连接,AC,，,BC,.,AB,是直径，,ACB,90,，,A,+,B,=90.,又,CD,AB,，,CPB,90,，,PCB,B,90.,又,A,CPB,，,APC,CPB,.,PC,2,=,AP,PB,.,例,1,如图，,ABC,是一块锐角三角形材料，边,BC,120 mm，高,AD,80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在,BC,上，其余两个顶点分别在,AB,、,AC,上，这个正方形零件的边长是多少？,A,B,C,D,E,F,G,H,解：设正方形,EFHG,为加工成的,正方形零件，边,GH,在,BC,上，顶点,E,、,F,分别在,AB,、,AC,上，,ABC,的高,AD,与边,EF,相交于点,M,，设正方形的,边长为,x,mm.,M,EF,/,BC,，,AEF,ABC,，,又,AM,AD,MD,80,x,，,解得,x,=48.,即这个正方形零件的边长是,48 mm.,A,B,C,D,E,F,G,H,M,则,证明：,ABC,是等边三角形，,BAC,ACB,60,，,ACF,120,CE,是外角平分线，,ACE,60,，,BAC,ACE,又,ADB,CDE,，,ABD,CED,例,2,如图，,ABC,是等边三角形，,CE,是外角平分线，点,D,在,AC,上，连接,BD,并延长与,CE,交于点,E,.,(,1,)求证：,ABD,CED,；,A,B,C,D,F,E,(2)假设 AB=6，AD=2CD，求 BE 的长.,解：作,BM,AC,于点,M,.,AC,AB,6，,AM,CM,3,.,AD,2,CD,，,CD,2,，,AD,4,，,MD,1.,A,B,C,D,F,E,M,在,R,t,BDM,中，,由,(1),ABD,C,ED,得，,即,A,B,C,D,F,E,M,证明：连接,AD,，,DAC,=,DEC,，,EBC,=,DEC,，,DAC,=,EBC,.,AC,是,O,的直径，,ADC,=90，,DCA,+,DAC,=90，,EBC,+,DCA,=90，,BGC,=180,(,EBC,+,DCA,),=90，,AC,BH,.,例3：在 ABC 中，以 AC 边为直径的 O 交BC 于点 D，在劣弧上取一点 E 使 EBC=DEC，延长 BE 依次交 AC 于点 G，交 O 于 H,(1)求证：ACBH；,A,B,C,D,G,E,O,H,(2)假设 ABC=45，O 的直径等于 10，BD=8，,求 CE 的长,A,B,C,D,G,E,O,H,解：BDA=180ADC=90，,ABC=45，BAD=45，,BD=AD.,BD=8，AD=8.,在 RtADC中，AD=8，AC=10，,由勾股定理得 DC=6，那么 BC=BD+DC=14.,EBC=DEC，BCE=ECD，,BCEECD，BC:CE=CE:CD，,即 CE2=BC CD=146=84，CE=2.,考点二 相似的应用,例,1,如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿,EF,的影长,GE,为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30角，树顶端,B,在地面上的影子点,D,与,B,到垂直地面的落点,C,的距离是 3.6 m，求树,AB,的长,2m,1.2,m,3.6,m,2m,1.2,m,3.6,m,解：如图，,CD,3.6m，,BDC,FGE,，,BC,6m.,在 Rt,ABC,中，,A,30，,AB,2,BC,12 m，,即树长,AB,是 12 m.,即,例2 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？请你利用数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由,解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜,子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑,顶 A.假设人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、,BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高,根据 ，即可算出,AB,的高,你还有其他方法吗？,理由：测量出,CD,、,DE,、,BE,的长，因为,CED,AEB,，,D,B,90，易得,ABE,CDE,.,如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？,针对训练,A,B,O,C,D,2m,6m,1.8m,解：,ABO,=,CDO,=90,，,AOB,=,COD,，,AOB,COD,.,解得,CD,=5.4m.,故球能碰到墙面离地,5.4m,高的地方,A,B,O,C,D,2m,6m,1.8m,考点三 位似的性质及应用,针对训练,1.在如下图的四个图形中，位似图形的个数为 (),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,C,2.ABC ABC，以下图形中，ABC 和,ABC 不存在位似关系的是 (),B,A,(,A,),C,B,C,B,A,(,A,),C,B,C,B,A,(,A,),C,B,C,B,A,C,B,C,A,A,B,C,D,B,3.如图，DEAB，CE=3BE，那么 ABC 与 DEC,是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为,，面积比为 .,D,A,E,B,C,C,4:3,16:9,4.在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(6，,3)，(12，9)，ABO 和 ABO 是以原点 O 为,位似中心的位似图形.假设点 A 的坐标为(2，1)那么,点 B 的坐标为 .,(4,，,3),5.找出以下图形的位似中心.,6.,如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，,点,O,和,ABC,的顶点均为小正方形的顶点.,A,B,C,(,1,),在图中,ABC,内部作,AB,C,，使,AB,C,和,ABC,位似，且位似中心为点,O,，位似比为,2:3.,O,A,B,C,解：如下图.,(,2,),线段,AA,的长度是,.,7.,如图，,ABC,在方格纸中.,(,1,)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使,A,(2，3)，,C,(6，2)，并求出,B,点坐标；,解：如下图，,B(2，1).,x,y,O,(,2,)以原点,O,为位似中心，位似比为 2，在第一象限内,将,ABC,放大，画出放大后的图形,ABC,；,x,y,O,A,B,C,解：如下图.,(,3,)计算,ABC,的面积,S,.,x,y,O,A,B,C,解：,课堂小结,相似,相似图形,位似,相似多边形,相似三角形,性质,平面直角坐标系中的位似,应用,性质,判定,平行线分线段成比例,定义,定义、判定、性质,