单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,数学归纳法,问题,1,:,问题2,：,某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。,问题情境一,.,我是白的哦！,：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论,不,一定可靠,考察,全体,对象,得到一般结论的推理方法,考察,部分,对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为,完全归纳法,和,不,完全归纳法,归纳法,思考：归纳法有什么优点和缺点？,优点：,可以帮助我们从一些具体事,例中发现一般规律,缺点：,仅根据有限的特殊事例归纳,得到的结论有时是不正确的,思考,1,：,与正整数,n,有关的数学命题能否通过,一一验证,的办法来加以证明呢？,思考,2,：,如果一个数学命题与正整数,n,有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？,对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（,1,）证明当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,=1),时命题成立,;,（,2,）假设当,n=k(kN,*,k n,0,),时命题成立,证明当,n=k+1,时命题也成立,.,最后由（,1,）（,2,）得出结论全体自然数成立,数学归纳法,【,命题成立的连续性,】,【,命题成立的必要性,】,这种证明方法,叫做,数学归纳法,1,3,7,9,5,1+3+5+(2n1)=n,2,(nN,*,),证明：,例,1,：观察,归纳猜想：,你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。,n,n,（,1,）当,n=1,时，左边,=1,右边,=1,2,=1,，,等式成立,.,（,2,）假设,n=k,时等式成立，,即,1+3+5+(2k1)=k,2,则,n=k+1,时，,1+3+5+2(k+1)1,=1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1,=k,2,+2k+1,=(k+1),2,.,即,n=k+1,时等式也成立,.,根据（,1,）,（,2,）知等式对一切,nN,*,都成立,.,1,3,5,（,2n,1,）,用数学归纳法证明,n,2,即当,n,=,k,+1,时等式也成立。,根据（,1,）和（,2,）可知，等式对任何都成立。,证明：,1,3,5,（,2,k,1,）,+2(,k,+1),1,那么当,n,=,k,+1,时,（,2,）假设当,n,k,时，等式成立，即,（,1,）当,n,=1,时，左边,1,，右边,1,，等式成立。,1,3,5,（,2,k,1,）,k,2,+2(,k,+1),1,k,2,2,k,1,k,2,（,k,+1,）,2,（假设）,（利用假设）,注意：,递推基础不可少，,归纳假设要用到，,结论写明莫忘掉,。,证明传递性,（,凑结论）,数学归纳法步骤，用框图表示为：,验证,n,=,n,0,时命题成立。,若,n=k(k n,0,),时命题成立，证明当,n=k+1,时命题也成立。,命题对从,n,0,开始的所有的正整数,n,都成立。,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,证明,：,（,1,）,当,n,=1,时,，,等式是成立的,（,2,）,假设当,n=k,时等式成立，就是,那么,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,由（,1,）和（,2,），可知等式对任何,都成立,如果 是等差数列，已知首项为,公差为 ，那么,对一切 都成立,例,2,试用数学归纳法证明,因此数学归纳法是一种科学的递推方法,(1),是,递推的,基础,(2),是,递推的,依据,注意：,1,、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可,.,2,、第二步证明，由假设,n,k,时命题成立，到,n=k+1,时必须用假设条件，否则不是数学归纳法。,3,、最后一定要写,“,由（,1,）（,2,）,”,例,3,：,用数学归纳法证明,：,1,2,2,3,3,4,n(n,1),从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,利用假设,凑结论,证明,:,2),假设,n=k,时命题成立,即,12,23,34,k(k+1),则当,n=k+1,时，,+,=,n=k+1,时命题正确。由,(1),和,(2),知，当 ，命题正确,。,=,1),当,n=1,时，左边,=12=2,右边,=2.,命题成立,练习2用数学归纳法证明,证明：,（,1,）当,n=1,时，左边,1,2,1,，右边,等式成立。,（,2,）假设当,n=k,时，等式成立，就是,那么,这就是说，当,n=k+1,时等式也成立。,根据（,1,）和（,2,），可知等式对任何,nN,都成立。,思考,1,：,试问等式2+4+6+,+2,nn,2,+n+1,成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解,:,设,nk,时成立，即,这就是说，,nk+1,时也成立,2+4+6+,+2,kk,2,+k+1,则当,n=k+1,时,2+4+6+,+2k+2(k+1),k,2,+k+1+2k+2(k+1),2,+(k+1)+1,所以等式对任何,nN*,都成立,事实上，当,n1,时，左边2，右边3,左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当,n=1,时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何,nN*,都成立，为时尚早,证明：,当,n,=1,时，左边,右边,假,设,n=k,时，,等式成立，,那么,n=k+1,时,等式成立,这就是说，当,n=k+,1,时，等式也成立,根据（,1,）和（,2,），可知等式对任何,n,N,都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,思考2,：,下面是某同学 用数学归纳法证明等式,成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么,？,（,n,N,）,n,n,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,3,2,-,=,L,因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是,递推的,基础,，第二步是,递推的,依,据,。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。,1.,数学归纳法是一种证明与,正整数,有关的数学命题的重要方法,.,主要有两个步骤一个结论,:,（,1,）证明当,n,取第一个值,n,0,（如,n,0,=1,或,2,等）时结论正确,（,2,）假设,n=k,时结论正确，证明,n=k+1,时结论也正确,（,3,）由（,1,）、（,2,）得出结论,归纳小结,作业：课本：,P96 A,组,1,，,2,