单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章,时变线性系统,1,本章将主要争论线性时变系统的全都可控性和全都可观测性问题，为今后的学习建立肯定的根底。,其次章已争论了系统在t0时刻的可控性和可观测性问题。但在最优掌握、系统辨识、自适应掌握及其它系统的分析中，往往需要对可控性或可观测性给出更强的条件。此外，即使对象是时不变的，由于有时要将掌握器设计成时变的，则整个闭环系统仍旧是时变系统，这时，利用全都可控性等概念进展系统分析就不行避开。,2,从工程应用角度，可用时变线性系统近似描述的典型系统是：,飞机在标称高度和速度四周变化时的动态特性；,空间站的运动。空间站的运动可用非线性微分方程组描述，线性化之后，线性模型的参数仍会在一个大范围内变化，难以用定常线性系统来描述；,化工过程中热传导速度的掌握、一些化学反映的动态过程等都是高度非线性的，其工作点和参数变化猛烈，因此，即使线性化后也要用时变线性系统来近似。,参考文献：Linear Time-Varying Systems:Control and Adaptation.K.S.Tsakalis and P.A.Ioannou.,3,式中u 是 p 维输入向量，y 是 q 维输出向量，并假定状态方程满足解存在和唯一性条件。,其次章已清晰，时变线性系统的一些重要性质，如可控性、可达性、可观测性、可重构性等均 和所争论的时刻 t0 有关，因此就提出这些性质对 t 是否具有全都性的问题。在时变系统的设计中，全都性常常是设计问题有解的条件。,本章所考虑的,n,维线性时变系统的方程为,（61）,首先，时变系统的分析和设计中会遇到哪些问题？时变系统的特点是什么？,4,对于时不变系统：特征值对应于系统运动的模式，特征值的分析可以对系统的稳定性给出完整的答复。而时变系统的主要困难是，没有一个方法能在给定矩阵A(t)后就能推断系统的稳定性；求状态转移矩阵则是一项特别困难的工作。,在争论方法上，明显复数域的方法一般不再适用，所实行的完全是时域的方法。,本章仅介绍全都完全可控性、全都完全可观测性及相关的学问。,5,定义6-1 全都完全可控性线性时变系统6-1)为全都完全可控的，假设存在 0 以及与 有关的正数 i()(i=1,2,3,4)，使得对全部t(,+),1.定义,p15,p20,p21,一、全都完全可控性的定义和判据,6,留意：对nn实对称阵A,B，,AB xT(AB)x 0，即AB 正定；,AB AB 为半正定。,争论：,由其次章：(A(t),B(t)在t0时刻可控的充分必要条件是存在有限的 t1t0，使得W(t0,t1)非奇异。留意到W(t0,t1)至少半正定，故非奇异意味其正定。易见，满足上述矩阵不等式，W正定。,7,2 条件(6-3)等价为如下的可达性条件(p.46)：,8,全都可控性保证在时间定义域内任何时刻的状态转移均可在时间间隔 内完成，而与时间的起点无关。这里所说的状态转移，包括了,从 t 时刻的任何状态转移到 t+时刻的零状态可控,从t 时刻的零状态转移到 t 时刻的任意状态可达,这两点分别由6-2式与6-3式所保证。,t,t,t,+,9,承受其次章习题中的方法，可以证明，掌握,可在时间段 中将时刻x(t)的任意状态转移到时刻x(t+)的任意状态x1。假设系统仅仅是可控的，则完成状态转移可能需要很长的时间，或者要求掌握的幅度极大。然而，假设其是全都完全可控的，则总能在长度为 的一段时间完成，此外，掌握输入的幅度不会是任意大的正比于W1)。,在最优掌握理论中，为了保证系统的稳定性，有时需要全都完全可控这一条件。,10,例,6-1,考虑一维线性系统,系统是可控的，由于对任意的t0，W(t0,t1)0。但不是全都完全可控的。事实上，因=I，,当,t,充分大时，因子,e,2,t,可任意地小,故使,成立的1()不存在。这说明在任意t0时刻可控不肯定有全都完全可控。,全都完全可控肯定可推得在t0时刻的可控性，但反之一般不成立。,11,例6-2,一维线性系统,假设选择 =5，有,t,1 2,b,(,t,),12,此时(6-2)式成立。又由于=I，所以(6-3)式也成立。在(,+)内系统是全都完全可控的，固然也是可控的。,2.W(t0,t1)的一些性质,定义6-1说明，判别一个系统的全都可控性有赖于W(t0,t1)，因此，首先争论 W(t0,t1)的一些性质。,13,定理6-1,可控性矩阵,W,(,t,0,t,),具有如下性质：,1 W(t0,t)是对称的;,2 W(t0,t1)对于t1t0 是非负定的;,3 W(t0,t)满足线性矩阵微分方程：,4 W(t0,t1)满足,14,(6-9),(6-8),则系统全都完全可控的充分必要条件为：存在 0 及 0(),使得对一切 t 成立,(,四个不等式变成一个不等式,),p6,p20,。,定理的证明需要用到如下两个引理：,定理6-2：假设A(t)及B(t)有界，即存在K使得对任意的t，均有,3.全都完全可控性的判据,15,引理1(Bellman-Gronwall 不等式:,设,则有,以及存在常数,c,0，,使得,16,对方程两边从,t,0,到,t,积分，即可将初值问题转换为一个积分方程：,引理1之应用,两边取范数，就可用上述公式。事实上,17,利用,Bellman,不等式，并注意到 有,这样就证明白如下引理：,18,在下面对定理6-2的证明中，需要如下有关nn 实对称正定阵A,B 的学问：,引理 2,系统 的矩阵,A,(,t,),有界、即存在,K,，,使得对一切,t,有 成立，则其状态转移矩阵满足不等式,19,定理6-2的证明p15：必要性明显。充分性：,1证明,此式与(6-9)一起就证明白(6-2)p6。为此，只要利用 B(t)0，(6-3)均不行能成立，因此该系统不是全都完全可控的。,定理6-2说明在有界的条件下，对可控性具有全都性即对可达性也具有全都性，因而是全都完全可控的。定理6-2的条件并不苛刻，由于状态转移矩阵不易求得，故该定理在系统分析中是应用得比较广泛的。,24,二、全都完全可观测的定义和判据,其定义和判判据与全都完全可控是对偶的。,定义6-2 全都完全可观测性线性时变系统6-1称为全都完全可观测的，假设存在 0 以及与 有关的正数 i()(i=1,2,3,4)，使得对全部t(,+)，,25,全都完全可观测的概念及其相应的定理在最优掌握中会用到。,因一大类自适应掌握系统是时变线性系统，全都完全可观测的概念在争论参数收敛性时是必不行少的工具。,26,B-G不等式,上个世纪微分方程争论领域最重要的成果之一，它和小增益定理一起，是很多掌握系统稳定性分析和设计中不行或缺的工具。本章介绍的是B-G引理的简化形式，其一般形式可表达如下：,27,贝尔曼不等式还有假设干其它变化形式，称为 B-G1、B-G2、B-G3不等式等等。,28,A阵是稳定的，即A的全部特征值均具负实部，B阵是一个常量阵，表示建模误差。试用上述Bellman不等式建立使矩阵Ac仍旧稳定时B阵应满足的条件。,29,最优掌握理论的创立应归于苏联数学家庞特里亚金和贝尔曼的工作，其背景是苏联和美国在太空领域的剧烈比赛。1956年，庞特里亚金将最优掌握过程正确地描述为具有约束的非古典变分学问题，同时以猜测的形式提出了解决该问题的数学方法，即最大值原理。1960年，他完成了最大值原理的严格证明，这导致最优掌握理论的诞生。,贝尔曼:美国数学家，现代掌握理论的主要奠基人，主要奉献是提出了最优掌握的“动态规划”方法。,30,